Новейшая Доктрина

Новейшая доктрина

Информация о пользователе

Привет, Гость! Войдите или зарегистрируйтесь.


Вы здесь » Новейшая доктрина » Николай Александрович Морозов » В.В.Калашников, Т.Н.Фоменко, ФиН ЗВЕЗДЫ АЛЬМАГЕСТА (ХРОН 3)


В.В.Калашников, Т.Н.Фоменко, ФиН ЗВЕЗДЫ АЛЬМАГЕСТА (ХРОН 3)

Сообщений 61 страница 90 из 334

61

Глава 4
КТО ЕСТЬ КТО?
.
4.1 Предварительные замечания

.

Как мы видели, датировка Альмагеста по собственным движениям может оказаться неверной если при отождествлении используемых для датировки быстрых звезд со звездами каталога Альмагеста возникла ошибка. Проблема отождествления звезд Альмагеста, или, более точно, птолемеевских описаний звезд, - с настоящими, так сказать "современными"звездами, то есть звездами, которые мы видим сегодня, иногда оказывается непростой. В некоторых случаях она решается вообще неоднозначно. Разумеется, проблема отождествления звезд в каталоге Альмагеста впервые возникла не у нас. Эта проблема известна давно. Но для нас она особенно важна, так как без ее решения нельзя приступать к датировке звездного каталога Альмагеста на основе собственных движений звезд.
.
Напомним, что каталог Альмагеста содержит 1025 звезд. Но лишь двенадцати из них в каталоге Альмагеста при описании даны собственные имена с использованием формулы "vocatur"("называемая"). Это - АРКТУР, АКВИЛА (АЛЬТАИР), АНТАРЕС, ПРЕВИНДЕМИАТРИКС, АСЕЛЛИ, ПРОЦИОН, РЕГУЛ, СПИКА, ВЕГА = ЛИРА, КАПЕЛЛА, КАНОПУС, СИРИУС. Впрочем, Птолемей называет Сириус именем "Пес". Другие звезды, кроме этих двенадцати, в Альмагесте собственных имен не имеют. Они снабжены в каталоге Альмагеста лишь описаниями типа "звезда в середине шеи", "звезда на кончике хвоста", "звезда на конце передней ноги", "более яркая из двух звезд в левом колене"и т.п. Очень часто такого описания совершенно недостаточно для уверенного отождествления той или иной звезды Альмагеста с современной звездой.
.
Разумеется, многочисленные исследователи Альмагеста уже проводили отождествление его звезд с современными звездами на основе сравнения звездных координат Альмагеста и современных звездных координат. Результаты этого отождествления можно найти, например, в работе К.Петерса и Е.Кнобеля [92]. Они приводят таблицу, в которой каждой звезде Альмагеста поставлена в соответствие современная звезда. В [92] содержится также таблица различий в отождествлениях, предлагавшихся разными исследователями. Подчеркнем однако, что все ранее сделанные отождествления были проведены астрономами исходя из гипотезы о датировке Альмагеста НАЧАЛОМ НАШЕЙ ЭРЫ. В некоторых случаях эта скалигеровская гипотеза заметно влияла на результат отождествления.
.
В самом деле, если тусклая, ничем не особенным не примечательна звезда, обладающая большой скоростью собственного движения, за время от начала н.э. до наших дней значительно изменила свое положение, то ее придется отождествлять в различных эпохах с различными звездами из Альмагеста. Датировка каталога по таким звездам БЕССМЫСЛЕННА, поскольку в зависимости от выбранного отождествления будет ВЫБИРАТЬСЯ и эпоха составления каталога. Но коль скоро можно выбрать отождествление не единственным образом, то и время составления каталога будет определено - по движению данной звезды - неоднозначно.
.
Кроме того, в этой ситуации нельзя даже быть уверенным, что Альмагест вообще содержит данную "быструю"звезду. Дело в том, что большинство звезд на небе - тусклые, от 4-й до 6-й величины. Очень многие из этих слабо видимых звезд вообще не вошли в каталог Альмагеста. Просто потому, что на небе таких звезд гораздо больше, чем перечислено в этом каталоге. Поэтому имеются случаи, когда со одной звездой Альмагеста могут отождествиться одновременно несколько видимых невооруженным глазом звезд. Все эти случаи должны быть выявлены с тем, чтобы не основывать метод датировки на подобных неоднозначных ситуациях.
.
Однако в целом у нас не было сомнений в добросовестности отождествлений звезд, проведенных Петерсом и Кнобелем в [92]. И наши компьютерные расчеты подтвердили обоснованность такой точки зрения. Речь могла идти лишь о возможности ошибок, невольно вызванных подразумеваемой астрономами неверной априорной датировкой звездного каталога Альмагеста. То есть, датировкой по Скалигеру, - началом нашей эры. Чтобы исключить влияние скалигеровской датировки, процесс отождествления быстрых звезд со звездами из каталога Альмагеста БЫЛ ПРОВЕДЕН НАМИ ЗАНОВО.
4.2 Формальный поиск наиболее быстрых звезд в каталоге Альмагеста
4.2.1 Метод отождествления - распознавания звезд
.
Вопрос "кто есть кто"в каталоге Альмагеста мы рассмотрим лишь для заметно движущихся звезд, которые в принципе могли бы послужить для датировки. Чем быстрее движется звезда, тем точнее можно датировать каталог по ее положению. Но только при условии, что данная звезда надежно и однозначно отождествлена в датируемом каталоге. На первом этапе, для формального отождествления со звездами Альмагеста нами были взяты из каталога ярких звезд [84], содержащего около 9 тысяч звезд, лишь 78 звезд - наиболее быстро движущиеся. Двойные звезды мы считаем за одну. Были отобраны звезды, движущиеся со скоростью не менее 0, 5 "" в год хотя бы по одной из координат в экваториальной системе эпохи 1900 года н.э. Отметим, что в большинстве своем это - весьма тусклые звезды.
.
Список этих наиболее быстрых из видимых невооруженным глазом звезд приведен в табл.4.1.

http://s4.uploads.ru/7OX0v.jpg

62

В этой таблице даются экваториальные координаты звзед на 1900 год н.э., то есть на момент t = 0 в наших обозначениях, и приведенные к экватору составляющие скоростей их собственного движения в экваториальной системе координат на эпоху 1900 г.н.э. Каждая звезда характеризуется обозначением Байера - Флемстида, а также своим порядковым номером по каталогу [84]. В последнем столбце таблицы приведена величина звезды по [84]. Некоторые данные, приведенные в табл.4.1, взяты из предыдущего издания каталога [84]. Разница между числами в этих изданиях невелика и для наших целей несущественна.
.
По данным, приведенным в этой таблице, формулам преобразования экваториальных координат в эклиптикальные, см. главу 1, а также с учетом собственного движения звезд, определялись эклиптикальные координаты L i (t ),B i (t ) i-й звезды на небесной сфере (1http://s1.uploads.ru/aokQx.gif ihttp://s1.uploads.ru/aokQx.gif78) в эпоху t.
.
Для каждой из указанных 78 быстрых звезд была построена расчетная http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif-окрестность, то есть круг радиуса http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif вокруг расчетного положения звезды на звездной сфере для момента времени t. См. рис.4.1. Это делалось для всех априорных датировок от 1100 года до н.э. до 1900 года н.э. (0http://s1.uploads.ru/aokQx.gift http://s1.uploads.ru/aokQx.gif30). Далее, при фиксированном t вычислялось дуговое расстояние http://s5.uploads.ru/RX6vE.gif (A,i,t ) между звездой A из каталога Альмагеста с птолемеевскими координатами (l A,b A ) и расчетным положением i-й быстрой современной звезды с расчетными координатами (L i (t ),B i (t )) на эпоху t.
.
Если имело место соотношение http://s5.uploads.ru/RX6vE.gif (A,i,t ) <http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif, то считалось, что в момент t происходит возможное отождествление i -й современной звезды и звезды A из каталога Альмагеста. В противном случае звезды i и A в момент t не отождествлялись друг с другом. Таким образом, отождествление, "захват", происходил только в том случае, когда -окрестность звезды i из современного каталога захватывала звезду A из каталога Альмагеста на некотором промежутке априорных датировок [t class="cmsy-8">*,t class="cmsy-8">* ] из исторического интервала (0http://s1.uploads.ru/aokQx.gift http://s1.uploads.ru/aokQx.gif30). Естественно, в одну и ту же -окрестность "современной"звезды i могли попасть разные звезды каталога Альмагеста. Как при различных t, так и одновременно. Для некоторых быстрых звезд в эту окрестность не попадало ни одной звезды Альмагеста ни при каком t из рассматриваемого интервала времени.
.
Конечно, описанный метод отождествления довольно груб. В частности, в качестве радиуса захвата целесообразно выбирать величину, превышающую точность анализируемого каталога в несколько раз, с тем, чтобы быть уверенным в возможности произведенного отождествления. Оказалось, однако, что само отождествление практически не зависит от радиуса . Это говорит об устойчивости предлагаемого метода.

63

4.2.2 Результат отождествления "современных"звезд со звездами каталога Альмагеста
.

Давая общее описание каталога Альмагеста, мы уже говорили, что заявленная составителем точность каталога равна 10 ", отдельно по широте и долготе. Это означает, что точность измерения дугового расстояния, заявленная в Альмагесте, составляет около 14 ". То есть, в http://s4.uploads.ru/B4Ylk.gif раз хуже точности измерения каждой координаты. Однако заявленная точность представляет собой, вообще говоря, некоторую РЕКОРДНУЮ ВЕЛИЧИНУ, то есть такая точность достигается лишь на очень хорошо измеренных звездах. Например на опорных, именных. Реальная же точность вполне может быть и в несколько раз хуже.
.
Мы подробно обсудим вопросы точности ниже, в главах 5 и 6. Пока же можно обойти вопрос о точности, выбрав в качестве радиуса захвата http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif величину, превышающую 14 " в несколько раз. Так и было сделано. А именно, были выбраны http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif = (1 2 ) o, 1 o, (11 2 ) o, 2 o. В табл.4.2 представлены результаты отождествления быстрых звезд на указанном выше промежутке времени 0http://s1.uploads.ru/aokQx.gift http://s1.uploads.ru/aokQx.gif30. То есть, от 1100 года до н.э. до 1900 года н.э. Из быстрых звезд в табл.4.2 попали лишь те из них, http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif -окрестности которых "захватили"хотя бы при одном t, и при указанных значениях http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif, КАК МИНИМУМ ОДНУ ЗВЕЗДУ ИЗ КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА.
http://s9.uploads.ru/mr7Rl.jpg
Каждая строка таблицы относится к паре отождествляемых звезд - "быстрой современной", номер которой берется из каталога [84], и звезде Альмагеста, имеющей номер Байли A. Если "быстрая современная"звезда i при каком-либо http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif  не отождествляется со звездой Альмагеста A, - то есть звезда из каталога Альмагеста с номером Байли A не "захватывается" http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif-окрестностью рассматриваемой "быстрой современной"звезды, - то в соответствующей позиции таблицы ставится прочерк. Например, звезда 1325 из [84] при http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif = 0, 5 o на рассматриваемом промежутке времени 0http://s1.uploads.ru/aokQx.gift http://s1.uploads.ru/aokQx.gif30 не отождествляется со звездой Альмагеста, имеющей номер Байли 780.
.
Если звезда с номером i отождествляется только с одной звездой A из каталога Альмагеста, то в соответствующей строке указывается номер Байли звезды A. А также указываются временнДые промежутки, на которых произошло отождествление, при различных http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif. Например, звезда с номером i = 21, то есть 11 http://s5.uploads.ru/oC7Pg.gif Cas, отождествляется со звездой A = 189 при 20   t  30, если http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif = 0, 5 o, и на всем промежутке 0http://s1.uploads.ru/aokQx.gift http://s1.uploads.ru/aokQx.gif30, если    http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif ≥ 1 o.
.
Если звезда i имеет НЕСКОЛЬКО ОТОЖДЕСТВЛЕНИЙ, то в соответствующей строке указываются все они. А в качестве промежутка времени дается тот, на котором рассматриваемая звезда из каталога Альмагеста находится ближе к звезде i, чем другие отождествляемые с ней звезды. Например, звезда с номером i=1325, то есть 40 o2 Eri, на разных промежутках времени отождествляется со звездами Альмагеста, имеющими номера Байли 778, 779, 780. Столбец, соответствующий значению http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif = 1, 5 o, говорит о том, что при 0http://s1.uploads.ru/aokQx.gift http://s1.uploads.ru/aokQx.gif10 звезда i=1325 ближе всего располагается к звезде Альмагеста с номером Байли A = 780. Хотя, скажем, при t = 10 расстояние между звездами i=1325 и A = 779 также менее 1, 5 o.
.
Смысл такого "отождествления"современной звезды i со звездой A Альмагеста в момент t следующий. Если предположить, что каталог Альмагеста был составлен в году t, то наиболее подходящим "кандидатом"на роль звезды, имеющей в этом каталоге номер A, является звезда с номером i из современного каталога [84].
.
Табл.4.2 показывает, что выбор величины http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif практически не влияет на результат отождествления. Этот выбор во многом произволен и диктуется лишь следующими неформальными соображениями. Во-первых, радиус http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif должен быть сравним по порядку с фактической точностью каталога Альмагеста, чтобы не отождествлять звезды, не имеющие между собой ничего общего. Во-вторых, он должен быть достаточно большим, чтобы список отождествленных пар не оказался пустым, и чтобы возможные погрешности каталога не оказали заметного влияния на конечный результат. В-третьих, величина http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif не должна быть чрезмерно большой, чтобы результат отождествления был вполне определенным.
.
Из табл.4.2 видно, в частности, что отождествились 36 из 78 рассмотренных быстрых звезд. Эти отождествления не противоречат указанным в работе [92]. Более того, ПОДАВЛЯЮЩЕЕ БОЛЬШИНСТВО ИЗ НИХ СОВПАДАЕТ С ИЗВЕСТНЫМИ РАНЕЕ. Явное исключение составляет звезда с номером i=1325, то есть o2 Eri. В работе К.Петерса и E.Кнобеля [92] отмечена сомнительность отождествления данной звезды. Наши расчеты показали, что НА РАЗЛИЧНЫХ ПРОМЕЖУТКАХ ВРЕМЕНИ ОНА МОЖЕТ ОТОЖДЕСТВЛЯТЬСЯ С РАЗЛИЧНЫМИ ЗВЕЗДАМИ ИЗ АЛЬМАГЕСТА. Учитывая дополнительно ее малую яркость, можно говорить о сомнительности отождествления звезд с номерами A 778, 779, 780 в каталоге Альмагеста со звездами реального неба. Поэтому из дальнейшего рассмотрения эти три звезды следует исключить. Что и было нами сделано.
.
Табл.4.2 содержит и противоположный пример. Так, звезда каталога Альмагеста с номером Байли A = 169 отождествилась сразу с двумя современными звездами, имеющими номера 8085 и 8086 в каталоге [84].
.
Представленные в табл.4.2 результаты говорят о том, что переотождествления звезд являются исключением, а не правилом. Это объясняется как малой подвижностью подавляющего числа звезд, так и тем, что почти все звезды из каталога Альмагеста расположены на небесной сфере достаточно далеко друг от друга. В дальнейших исследованиях будут участвовать звезды, не имеющие переотождествлений. Поэтому мы можем различать их по соответствующими номерам Байли, не обращаясь к номерам из [84]. В случае необходимости будет приводиться имя звезды.
.
В связи с приведенной таблицей может возникнуть вопрос: можно ли использовать получившиеся временнДые интервалы возможного отождествления быстрых звезд в Альмагесте для его датировки? Оказывается, надежной датировки на этом пути получить нельзя. Причины этого подробно обсуждены выше, в главе 3.
.
Обобщая, отметим, что если устранить из списка быстрых звезд неоднозначно отождествляемые и выбрать в качестве http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif такую минимальную величину, при которой ВСЕ интервалы отождествления пересекаются, то можно было бы данную величину http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif считать за реальную точность измерения быстрых звезд, а точку пересечения - за приблизительную дату составления каталога. Однако, как следует из табл.4.2, получаемое таким способом значение http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif слишком велико. Даже самые быстрые звезды пройдут путь длиной http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif лишь за тысячелетия. Но в таком случае упомянутая дата будет определена крайне неустойчиво, с возможной ошибкой в тысячи лет. В частности, такая датировка будет сильно зависеть от рассматриваемого состава звезд. Скажем, при устранении или добавлении даже одной звезды датировка может существенно измениться. Именно поэтому в главе 3 был выделен ЭТАП КЛАССИФИКАЦИИ ЗВЕЗД ПО ТОЧНОСТИ ИХ ИЗМЕРЕНИЯ КАК ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ ШАГ, НЕОБХОДИМЫЙ ДЛЯ НАДЕЖНОЙ ДАТИРОВКИ.
.
4.2.3 Выводы
.
ВЫВОД 1. Подавляющее большинство звезд из каталога Альмагеста правильно отождествлено в предыдущих исследованиях.
.

ВЫВОД 2. Из списка 78 наиболее быстрых звезд, заимствованных из современного каталога "ярких", то есть видимых невооруженным глазом, звезд [84], 36 звезд могут быть успешно отождествлены со звездами Альмагеста. См. табл.4.2.
.
ВЫВОД 3. Среди быстрых звезд из табл.4.2 лишь следующие звезды имеют неоднозначные отождествления, при http://s4.uploads.ru/sGW2v.gif = 1, 5o.
.
а) Звезда o2 Эридана, то есть 40 o2 Eri, i = 1325, может быть отождествлена в разные априорные эпохи со следующими звездами Альмагеста:
.
со звездой 778 на промежутке от 1100 года до н.э. до 800 года до н.э.;
.
со звездой 779 на промежутке от 700 года до н.э. до 800 года н.э.;
.
со звездой 780 на промежутке от 900 года н.э. до настоящего времени.
.
б) Звезда i = 660 получает возможные отождествления со следующими звездами Альмагеста:
.
со звездой 360 на интервале от 1800 до 1900 годов н.э.,
.
со звездой 361, на промежутке до 1800 года н.э.
.
в) Звезда i = 8697 получает возможные отождествления с двумя звездами Альмагеста в разные эпохи:
.
со звездой 327 на интервале от 1200 года н.э. до 1900 года н.э.,
.
со звездой 328 на интервале до 1200 года н.э.

64

4.3 Поиск всех быстрых звезд, надежно отождествляемых в каталоге Альмагеста
.

В предыдущем разделе мы достаточно грубо и формально искали возможные отождествления быстрых, видимых невооруженным глазом, звезд неба со звездами Альмагеста. Это позволит нам отбросить те звезды, которые заведомо не подходят для датировки Альмагеста по собственным движениям. Поскольку возможное отождествление этих звезд со звездами Альмагеста существенно зависит от априорной его датировки. Зададимся теперь другим вопросом - какие из современных, достаточно быстрых звезд, АБСОЛЮТНО НАДЕЖНО могут быть найдены и отождествлены в каталоге Альмагеста? Поиск таких звезд является необходимой предварительной работой перед датировкой каталога по собственным движениям звезд.
.
Для решения поставленной задачи мы сделали следующее. Мы взяли современную электронную версию каталога BS5, содержащего все звезды неба, видимые невооруженных глазом. Всего в нем около 9 тысяч звезд. Каталог BS5 является уточненным переизданием каталога ярких звезд BS4 [84]. Мы проверили электронную версию BS5 на наличие опечаток, сравнив ее с печатным изданием BS4 [84]. Все опечатки были нами исправлены.
.
ШАГ 1. ОТБОР ЗВЕЗД ПО СКОРОСТИ.
.

Из каталога BS5 мы выбрали все звезды, имеющие скорость собственного движения не менее 0,1 сек/год хотя бы по одной из координат в экваториальной системе на эпоху 1900 года. Эти скорости были взяты из печатного каталога BS4 [84], так как в каталоге BS5 скорости приведены в экваториальных координатах на эпоху 2000 года. А у нас в качестве основной системы координат на небесной сфере выбраны экваториальные координаты на эпоху 1900 года. Напомним, что выбор системы координат на ту или иную эпоху вовсе не означает, что положения звезд рассчитаны на эту же эпоху. Эти вещи друг с другом совершенно не связаны.
.
ШАГ 2. ОТБОР ЗВЕЗД, ИМЕЮЩИХ ОБОЗНАЧЕНИЯ БАЙЕРА ИЛИ ФЛЕМИСТИДА.
.

Далее, из получившегося списка звезд мы отобрали лишь звезды, имеющие в своем обозначении либо "букву Байера", либо "цифру Флемистида", либо и то и другое одновременно. Выше мы уже поясняли причины такого отбора. Дело в том, что система обозначений звезд "по Байеру"и "по Флемистиду это две системы XVII и XVIII веков, сменившие птолемеевский способ описывать положение звезды на небе, указывая ее место относительно фигуры созвездия. Естественно предположить, что эти астрономы, вводя новую систему обозначений звезд, тщательно исследовали Альмагест и в тех случаях, когда никаких сомнений в отождествлении звезды не было, они приписывали ей свое новое обозначение. Если бы мы оставили в нашем списке звезды, не имеющие буквы Байера или цифры Флемистида, это означало бы, что мы удерживаем звезды, по поводу которых у Байера и у Флемистида были какие-то сомнения. А мы хотим прежде всего избавиться от "подозрительных звезд". Тем самым мы обезопасим себя от возможных ошибок в датировке за счет неправильных отождествлений.
.
Почему мы выбрали именно Байера и Флемистида из числа многих позднейших астрономов XVII-XX веков, исследовавших Альмагест? Причина в том, что именно они вводили новые обозначения звезд, отталкиваясь в значительной мере от старой традиции. Которую они и зафиксировали в своих новых обозначениях. Следовавшие за ними поколения астрономов учились уже по новым обозначениям Байера и Флемистида. А старая традиция была забыта за ненадобностью. Образно говоря, Байеру его учитель-астроном мог просто показывать на небе ту или иную звезду, указывая при этом пальцем в Альмагест. Это, мол, такая-то звезда Альмагеста. Тут она названа "в плече Девы"А это - другая. Она названа Птолемеем "в копыте Пегаса". А последующим поколениям молодых астрономов уже объясняли все это по-другому. Им говорили: это - Дельта Девы по Байеру. А это - Эпсилон Пегаса. Язык каталога Альмагест уже окончательно ушел в прошлое.
.
ШАГ 3. ОТБОР ЗВЕЗД, ИМЕЮЩИХ СТАРЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ИМЕНА.
.

В каталоге BS4 [84] на стр.461-468 приведен полный список "Имен звезд, найденных в старых и последущих текстах". Речь идет о текстах "античности"и средних веков. Этот список полностью приведен нами в табл.1.2(a) и табл.4.2(б). Из полученного на предыдущем шаге набора звезд мы отобрали лишь те звезды, которые присутствуют в указанном списке звезд со старыми именами.
.
Причина такого отбора состоит в следующем. Мы хотим исключить ошибки в отождествлении звезд, по которым мы будем датировать Альмагест. Понятно, что наличие у звезды собственного имени, использовавшегося в средние века, повышает надежность ее отождествления. Звезды, снабженные именами, явно чем-то привлекли к себе особенное внимание старых астрономов. Потому и получили имена. Поскольку старая астрономия в значительной мере была основана на Альмагесте, то следует ожидать, что эти звезды в Альмагесте распознавались более надежно, чем остальные.
.
ШАГ 4. ОТБОР ЗВЕЗД, ПОПАВШИХ В "ХОРОШО ИЗМЕРЕННЫЕ ОБЛАСТИ НЕБА"АЛЬМАГЕСТА.
.

Затем мы исключили из создаваемого нами списке звезд те, которые оказались в областях неба C и D Альмагеста. Причина этого будет объяснена в главе 6. В этих областях мы не можем найти и скомпенсировать систематическую ошибку составителя Альмагеста. Кроме того, наш анализ точности измерений Птолемея в разных областях неба, см. главу 2, показал, что области C и D наиболее "плохо измерены"в Альмагесте. Это означает, что даже если та или иная быстаря звезда надеждно отождествлена, но лежит в областях C или D, ошибка в ее координатах может существенно исказить датировку по собственному движению. В итоге дата получится грубо неверной.
.
После указанной "чистки"списка в нем осталось 76 звезд.
.
ШАГ 5. ОТБОР ЗВЕЗД ПО ЛОКАЛЬНОЙ КАРТИНЕ ЗВЕЗДНОГО НЕБА.
.

На последнем этапе мы отобрали лишь те звезды, которые, даже если допустить огромные ошибки в 2-3 градуса, тем не менее однозначно узнаются на небе по птолемеевским координатам. При этом тщательно проверялась правильность яркости, указанной в Альмагесте, а также правильность ее птолемеевского описанию. При обнаружении каких-либо несоответствий звезда тут же отбрасывалась.
.
В итоге, мы оставили в нашем списке лишь те звезды, которые являются изолированными на звездном небе среди звезд, сравнимой с ними яркости. И при этом хорошо отвечают координатам одной и только одной звезды в Альмагесте. Причем эта звезда Альмагеста не может быть отождествлена с какой-либо другой звездой неба даже при допущении ошибки в несколько градусов.
.
Мы пользовались звездным атласом [212], а также компьютерной программой Turbo-Sky, позволяющей подробно изобразить на экране ту или иную область звездного неба с учетом яркости звезд. Эта программа включает в себя также "телескоп", позволяющий рассматривать звездное небо с 25-кратным увеличением.
.
На этом, последнем этапе "чистки"списка из 76 звезд было отброшено 8. Осталось 68 звезд. Перечислим отброшенные восемь звезд.

BS>5

название ?

M BS5

v http://s8.uploads.ru/L15nZ.gif1900

v http://s8.uploads.ru/Mag2e.gif1900

N o Байли

M>A

921

25 http://s8.uploads.ru/5fxIz.gifPer

3.39

+0.130

-0.102

204

4

2484

31http://s8.uploads.ru/NdYef.gifGem

3.36

-0.115

-0.194

441

4

4057

41http://s9.uploads.ru/xMKXa.gif1Leo

2.61

+0.307

-0.151

467

2

6913

22http://s8.uploads.ru/mr0Mj.gifSgr

2.81

-0.043

-0.185

573

3

8610

63http://s8.uploads.ru/LvUwk.gifAqr

5.03

-0.070

-0.114

651

4

321

30http://s9.uploads.ru/iCI4M.gifCas

D 5.17

+3.423

-1.575

185

4

343

33http://s9.uploads.ru/isCDr.gifCas

D 4.33

+0.229

-0.017

185?

5

7348

Sgr

D 3.97

+0.030

-0.121

593

2-3

В этой таблице в первом столбце приведен порядковый номер звезды по каталогу ярких звезд BS5.
.
Второй столбец - это название звезды.
.
Третий столбец содержит букву D (disagreement, то есть рассогласование), заимствованную нами из электронной версии Альмагеста. В пояснениях к ней указано, что наличие рассогласований между отождествлениями в Альмагесте данной звезды разными астрономами было взято из книги [232]. В этой книге учтены также рассогласования, обнаруженные Петерсом и Кнобелем [92].
.
Четвертый столбец - это яркость звезды по BS5.
.
Пятый и шестой столбцы - компоненты приведенной к экватору скорости собственного движения в экваториальных координатах на эпоху 1900 года.
.
Седьмой столбец - номер Байли, то есть сквозной номер в каталоге Альмагеста того отождествления, которое было предложено для данной звезды.
.
Восьмой столбец - яркость согласно Птолемею.
.
Отметим, что в предыдущем списке из 76 звезд содержалось лишь три сомнительных звезды с точки зрения работы [232]. Речь идет о звездах, снабженных там буквой D (сомнительность отождествления). Все эти три звезды были отброшены при последней "чистке"нашего списка.
.
ИТОГ. СПИСОК НАДЕЖНО ОТОЖДЕСТВЛЕННЫХ В АЛЬМАГЕСТЕ ЗВЕЗД С ЗАМЕТНЫМ СОБСТВЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ В ЧАСТЯХ НЕБА A,ZodA,B,ZodB,M.
.
В результате возник список из 68 звезд. Он приведен в табл.1.3.
.
Подчеркнем, что в итоговом списке ПОЛНОСТЬЮ СОХРАНИЛОСЬ "ЯДРО"ИЗ ВОСЬМИ ИМЕННЫХ ЗВЕЗД АЛЬМАГЕСТА. О нем мы говорили выше. Эти восемь звезд собраны нами в самом начале списка. Они выделены там заглавными буквами.
.
Этот список будет для нас основным при окончательной датировке каталога Альмагеста по собственным движениям звезд.

65

Глава 5
.
АНАЛИЗ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК ЗВЕЗДНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ В ПРОИЗВОЛЬНОМ КАТАЛОГЕ, НАПРИМЕР В АЛЬМАГЕСТЕ

5. Основные обозначения
.

Начиная с этой главы, мы считаем, что имеем дело с каталогом, все звезды которого имеют ЕДИНСТВЕННОЕ отождествление со звездами из современного каталога. В соответствии с этим, будем идентифицировать звезды индексом i и обозначать через li,bi соответственно эклиптикальные долготу и широту i-й звезды в Альмагесте. Через Li(t),Bi(t) мы обозначим истинные долготу и широту i-й звезды в эпоху t. Напомним, что время t мы отсчитываем от 1900 года "назад"и измеряем в столетиях. То есть, например, t = 3, 15 соответствует году 1900 - 3, 15 ⋅ 100 = 1585 году н.э., а t = 22, 0 отвечает году 1900 - 22 ⋅ 100 = 300 году до н.э.
.
Пусть tA – неизвестное нам время составления каталога Альмагеста. Обозначим через LiA,B iA истинные долготу и широту i-й звезды в год составления каталога, то есть LiA = L i(tA),BiA = B i(tA). Пусть http://s9.uploads.ru/8n7kP.gifBi(t) = Bi(t) - bi - разность между истинной широтой i-й звезды в момент времени t и ее широтой в Альмагесте. Назовем величину  http://s9.uploads.ru/8n7kP.gifBi(t) широтной невязкой на момент времени t. Эта величина имеет смысл погрешности в определении широты i-й звезды Альмагеста ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО ОН БЫЛ СОСТАВЛЕН В ЭПОХУ t. Естественно, что http://s9.uploads.ru/8n7kP.gifBi(tA) = http://s9.uploads.ru/8n7kP.gifBiA представляет собой истинную погрешность в определении широты.
.
Как уже отмечалось в главе 3, в случае с Альмагестом приходится анализировать лишь широтные ошибки. Причины этого были подробно разъяснены выше.

66

5.2 Параметризация групповых и систематических ошибок
.

Рассмотрим некоторую совокупность звезд, например, созвездие или группу созвездий. Определим групповую ошибку в широтных координатах этих звезд как погрешность в определении широт звезд из этой совокупности, проистекающую из перемещения рассматриваемой звездной конфигурации КАК ЕДИНОГО ЦЕЛОГО по сфере. Следовательно, – и это обстоятельство мы особо подчеркнем, так как оно существенно используется в дальнейшем, – ЛЮБОЕ ПОДМНОЖЕСТВО ЭТОЙ КОНФИГУРАЦИИ ТАКЖЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ ПО СФЕРЕ КАК ЕДИНОЕ ЦЕЛОЕ И НА ТОТ ЖЕ УГОЛ, ЧТО И ВСЯ КОНФИГУРАЦИЯ. Такое перемещение имеет три степени свободы, то есть может быть описано путем задания трех параметров. Определим их.
.

На Рис. 5.1 наглядно изображена соответствующая картина. На звездной сфере с центром в точке O нанесено положение реальной эклиптики на момент времени tA. На эклиптике обозначены точки Q и R соответственно весеннего и осеннего равноденствий. Точка P отмечает северный полюс эклиптики. Точка E изображает положение некоторой звезды. Как уже говорилось, все групповые ошибки, для фиксированной группы звезд, в эклиптикальной широте, совершаемые составителем каталога, можно без ограничения общности считать следствием неправильного определения полюса эклиптики. То есть, результатом того, что вместо точки P на небесной сфере он принял в качестве полюса точку PA.
.
Этой точке соответствует возмущенная эклиптика, которая названа наРис. 5.1 ЭКЛИПТИКОЙ КАТАЛОГА. Ее положение можно однозначно задать, определив следующие два параметра. Во-первых, угол http://s8.uploads.ru/gXV7W.gif между прямыми OP и OPA, или, что то же самое, плоский угол между плоскостями реальной эклиптики и эклиптики каталога. Во-вторых, угол http://s9.uploads.ru/jpey1.gif между прямой равноденствий RQ и прямой CD, образованной пересечением плоскостей реальной эклиптики и эклиптики каталога. Такая параметризация удобна для аналитических целей. Однако далее мы будем иногда наряду с http://s9.uploads.ru/jpey1.gif использовать величину http://s9.uploads.ru/ITkYH.gif, которая интерпретируется следующим образом,Рис. 5.1. Смещение эклиптики "разлагается"на два поворота – вокруг оси равноденствия RQ на угол http://s8.uploads.ru/gXV7W.gif и вокруг оси, лежащей также в плоскости эклиптики и перпендикулярной оси RQ, на угол http://s9.uploads.ru/ITkYH.gif. Итак, http://s9.uploads.ru/ITkYH.gif представляет собой величину дуги QAQ, являющейся частью большого круга, проходящего через полюс PA и точку Q. Астрономический смысл точки QA весьма прозрачен. Это точка весеннего равноденствия на эклиптике каталога. Ясно, что углы http://s8.uploads.ru/gXV7W.gif и http://s9.uploads.ru/jpey1.gif однозначно определяют углы http://s8.uploads.ru/gXV7W.gif и http://s9.uploads.ru/ITkYH.gif. Как и наоборот. Искомую связь мы находим из рассмотрения сферического прямоугольного треугольника CQAQ. Здесь угол при вершине QA – прямой, угол при вершине C равен http://s8.uploads.ru/gXV7W.gif, а длина дуги CQ равна http://s9.uploads.ru/ITkYH.gif. В результате получаем:
sin b = sin g sin f.
(5. 1)
http://s9.uploads.ru/g7kpD.gif
Третья степень свободы заключается в повороте сферы вокруг оси PAPhttp://s8.uploads.ru/AEWFy.gifA,Рис. 5.1. Но такой поворот меняет лишь долготы звезд и не меняет их широты. Поэтому эту степень свободы мы не рассматриваем. Отметим, что вместо указанных параметров можно было бы выбрать любые другие базисные параметры, задающие вращение сферы. Ясно, что это не влияет на дальнейшее построение нашего метода.
.
Посмотрим теперь, как искажаются истинные координаты звезды i при наличии такой систематической ошибки. Истинные широта BiA и долгота этой звезды LiA равны соответственно длинам дуг EEhttp://s8.uploads.ru/AEWFy.gif и QEhttp://s8.uploads.ru/AEWFy.gif, отсчитываемым по часовой стрелке, если смотреть с полюса P. Искаженные широта и долгота bi,li равны соответственно длинам дуг EEA и QAEA. Отметим, что широты звезд, у которых истинная долгота больше долготы точки D и меньше долготы точки C, уменьшаются. А остальные – увеличиваются,Рис. 5.1. Этот вывод справедлив, строго говоря, не для всех звезд. Он неверен для звезд, расположенных вблизи полюсов P и Phttp://s8.uploads.ru/AEWFy.gif и находящихся на угловом расстоянии http://s8.uploads.ru/gXV7W.gif (или менее) от них. Однако, учитывая малость искажений, вносимых составителем каталога, таких звезд практически не существует. Как мы увидим, величина http://s8.uploads.ru/gXV7W.gif составляет около 20http://s8.uploads.ru/AEWFy.gif.
.
Учитывая малость величины http://s8.uploads.ru/gXV7W.gif, можно предложить следующую приближенную формулу для широтной невязки:
ΔBAi  = g ⋅ sin(LAi + f).
http://s9.uploads.ru/gwApu.gif(5. 2)

67

.
Иначе говоря, систематическая погрешность определения широт звезд может быть изображена в виде синусоиды, показанной наРис. 5.2. Полезно сравнить ее с кривой, полученной К.Петерсом и Е.Кнобелем [92]. Погрешность формулы (5.2.2) не превышает 1http://s8.uploads.ru/OjK5W.gif для звезд, у которых  ∣bA∣http://s9.uploads.ru/r2MWn.gif 80o. Такая погрешность является для нас несущественной, и мы в дальнейшем говорить о ней не будем, считая формулу (5.2.1) абсолютно точной. Для корректности мы исключим из рассмотрения звезды, имеющие широты более 80 градусов по абсолютной величине. В дальнейшем в этой главе речь будет идти о СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ, поскольку излагаемые методы работают в предположении, что рассматривается БОЛЬШАЯ СОВОКУПНОСТЬ звезд. Проверка того, что найденная погрешность совпадает (или не совпадает) с групповыми ошибками отдельных созвездий, представляет собой самостоятельную задачу. Применительно к Альмагесту она рассматривается ниже, в главе 6.
Рис. 5. 2: Зависимость систематической широтной невязки от долготы
.
В предположении, что известно время tA составления каталога, можно определить параметры http://s9.uploads.ru/OEB2P.gif и http://s9.uploads.ru/I3qDf.gif, задающие систематическую ошибку, следующим образом.
.
1) Вычислим на момент времени tA истинные широты BiA и долготы L iA для всех звезд из рассматриваемой совокупности.
.
2) найдем параметры http://s9.uploads.ru/OEB2P.gif* и http://s9.uploads.ru/I3qDf.gif*, дающие решение задачи
s2(g*, f*) → min,
(5. 3)
http://s9.uploads.ru/cP4TR.gif
где
.
            sum
s2(g,f) =    (BAi - bi-  g sin(LAi + f))2.
            i
http://s9.uploads.ru/mDw37.gif
Если бы в каталоге не было других ошибок, кроме систематических, соотношение (5.2.3) превратилось бы в уравнение s2(http://s9.uploads.ru/OEB2P.gif*,http://s9.uploads.ru/I3qDf.gif*) = 0. Однако наличие случайных ошибок в координатах звезд делает минимум в (5.2.3) отличным от нуля.
.
В нашей ситуации момент tA составления каталога неизвестен. Поэтому мы вынуждены рассчитывать систематические ошибки для всех значений t из рассматриваемого интервала 0 http://s9.uploads.ru/r2MWn.gif t http://s9.uploads.ru/r2MWn.gif 25. А именно, для каждого t определяются положение реальной эклиптики и ось равноденствия. Затем, как и наРис. 5.1, вводятся параметры http://s9.uploads.ru/OEB2P.gif = http://s9.uploads.ru/OEB2P.gif(t),http://s9.uploads.ru/I3qDf.gif = http://s9.uploads.ru/I3qDf.gif(t) и http://s9.uploads.ru/gHraL.gif = http://s9.uploads.ru/gHraL.gif(t), задающие взаимное положение эклиптики эпохи t и эклиптики каталога. Значения величин  http://s9.uploads.ru/OEB2P.gif(t) и http://s9.uploads.ru/I3qDf.gif(t) находятся как решение задачи
s2(g(t),f(t),t) → min,
(5. 4)
http://s8.uploads.ru/Zs385.gif
где
              sum
s2(g, f,t) =    (ΔBi(t) - g sin(Li(t) + f))2.
              i
(5. 5)
http://s8.uploads.ru/mCIqi.gif
Опять-таки, если бы мы имели идеальный случай и каталог не содержал бы других ошибок, кроме систематических, то соотношение (5.2.4) можно было бы, пренебрегая исключительно слабыми эффектами от собственного движения звезд, записать как уравнение
  2
s  (g(t),f(t),t) = 0.
.
По поводу эффектов от собственного движения напомним, что количество заметно движущихся звезд на небе очень мало по сравнению со всеми звездами Альмагеста. Решение последнего уравнения существовало бы при всех t, но дату tA определить из такого уравнения невозможно. Тем более ее невозможно найти из соотношения (5.2.4), заменяющего указанное уравнение в реальном случае каталога со случайными ошибками. Можно найти лишь систематическую ошибку как функцию априорной датировки t. Эта ошибка, естественно, зависит от априорной датировки – благодаря явлению колебания эклиптики со временем. Именно поэтому мы здесь говорим не о датировке каталога, а о нахождении его систематической ошибки как функции априорной датировки t.
.
В реальном каталоге, кроме указанной систематической ошибки, присутствуют и случайные ошибки. Поэтому отклонения Bi(t) -bi являются случайными величинами, значения которых разбросаны вокруг синусоиды их среднего значения, изображенной наРис. 5.2. В предположении, что остальные погрешности каталога, кроме систематических, носят случайный характер, задача определения http://s9.uploads.ru/OEB2P.gif(t) и http://s9.uploads.ru/I3qDf.gif(t) является задачей определения параметров регрессии. Решением этой задачи являются статистические оценки параметров http://s9.uploads.ru/OEB2P.gif(t) и http://s9.uploads.ru/I3qDf.gif(t).

68

5.3 Определение параметров http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif(t) и http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif(t) методом наименьших квадратов
.
Найдем решение http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif(t) и http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif(t) задачи минимизации (5.2.4), (5.2.5). Ниже, в конкретных примерах, эта задача будет рассматриваться для совокупностей, состоящих из различного количества звезд. Поэтому в расчетах мы будем использовать следующие нормированные величины, в которых N означает число звезд в изучаемой совокупности:
.
http://s8.uploads.ru/FE4hU.gif

Отметим, что все эти величины могут быть вычислены для любого момента времени t, исходя из значения современных координат звезд и координат звезд в каталоге Альмагеста.
.
Очевидно, что задача минимизации (5.2.4) эквивалентна задаче минимизации
http://s9.uploads.ru/3ERIF.gif

в том смысле, что параметры http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif(t) и http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif(t), определяемые соотношением (5.3.1), совпадают с параметрами, определяемыми решением задачи (5.2.4).
.
В силу того, что, как отмечалось, решение задачи (5.3.1) имеет смысл лишь для больших совокупностей звезд, и поскольку ниже мы будем изучать статистические свойства этого решения, то здесь и далее через http://s8.uploads.ru/BS3rU.gifstat(t) и http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gifstat(t) будут обозначаться величины, удовлетворяющие соотношению (5.3.1).
.
Значение
http://s8.uploads.ru/YhMvA.gif

имеет прозрачный физический смысл. Это среднеквадратичная широтная невязка по рассматриваемой совокупности звезд в момент времени t, получившаяся ПОСЛЕ КОМПЕНСАЦИИ НАЙДЕННОЙ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ http://s8.uploads.ru/BS3rU.gifstat(t),http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gifstat(t). Как мы увидим далее, величина http://s8.uploads.ru/RgZFO.gifsmin(t) от времени практически не зависит ввиду крайне малой скорости собственного движения подавляющего большинства звезд. Поэтому мы будем использовать также обозначение http://s8.uploads.ru/RgZFO.gifsmin. Заметим, что ДО КОМПЕНСАЦИИ ЭТОЙ ОШИБКИ среднеквадратичная широтная невязка в момент t равнялась величине
                        ----------------
http://s8.uploads.ru/1u9Ry.gif

которая, вообще говоря, зависит от t. Таким образом, разность  http://s9.uploads.ru/6J9kg.gifhttp://s8.uploads.ru/RgZFO.gifs(t) = http://s8.uploads.ru/RgZFO.gifsinit(t) - http://s8.uploads.ru/RgZFO.gifsmin(t) оценивает эффект от компенсации систематической ошибки http://s8.uploads.ru/BS3rU.gifstat(t), stat(t).
.
Далее при определении величин http://s8.uploads.ru/BS3rU.gifstat(t) и http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gifstat(t) из соотношения (5.3.1) момент времени t будем предполагать фиксированным. Поэтому аргумент t в выкладках мы опускаем. То есть, будем писать Li вместо Li(t), sb вместо sb(t) и т.д.
.
Для нахождения минимума в соотношении (5.3.1), возьмем частные производные функции s02(http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif,http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif,t) по http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif и http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif и приравняем их к нулю. С учетом формулы sin(Li + http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif) = sin Li cos http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif + cos Li sin http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif, получим уравнения
.
http://s8.uploads.ru/v7Xaj.gif
Разделив уравнение (5.3.4) на (5.3.5), получим
.
http://s8.uploads.ru/AO2lD.gif

Приведя обе части этого равенства к общему знаменателю, приходим к следующему уравнению относительно tan  :
.
http://s8.uploads.ru/31qeD.gif
Отсюда легко найти тангенс оптимального значения http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gifstat:
http://s8.uploads.ru/6950v.gif

Равенство (5.3.6) позволяет однозначно определить http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gifstat, после чего оптимальная величина http://s8.uploads.ru/BS3rU.gifstat может быть найдена, например, из (5.3.4):
http://s8.uploads.ru/NoIva.gif
Формулы (5.3.6) и (5.3.7) дают искомое решение задачи нахождения оценок  http://s8.uploads.ru/BS3rU.gifstat и http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gifstat методом наименьших квадратов.
.
Полезно провести анализ чувствительности в этой задаче. Рассмотрим частные производные второго порядка функции http://s8.uploads.ru/RgZFO.gifs2(http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif,http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif,t) по http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif и http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif:
http://s9.uploads.ru/FZKnG.gif
Учитывая равенства (5.3.4)–(5.3.7), нетрудно получить для этих частных производных следующие выражения:
http://s8.uploads.ru/R364U.gif
Для оценки погрешностей в определении величины среднеквадратичной ошибки  http://s8.uploads.ru/RgZFO.gifs(http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif,http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif,t) при отклонении значений http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif и http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif от найденных оптимальных величин http://s8.uploads.ru/BS3rU.gifstat и http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gifstat воспользуемся следующим разложением функции http://s8.uploads.ru/RgZFO.gifs2(http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif,http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif,t) в окрестности точки (http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif(t),http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif(t)):
http://s9.uploads.ru/MNql4.gif
В последней формуле мы пренебрегли членами третьего и более высоких порядков малости по отношению к разностям http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif - http://s8.uploads.ru/BS3rU.gifstat(t) и http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif - http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gifstat(t).
.
Формула (5.3.9) позволяет элементарными средствами оценить чувствительность среднеквадратичной ошибки http://s8.uploads.ru/RgZFO.gifs(http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif,http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif,t) к вариациям параметров http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif и http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif. Для этого достаточно определить величины a11,a12 и a22, входящие в правую часть (5.3.9). После вычисления оценок  http://s8.uploads.ru/BS3rU.gifstat(t) и http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gifstat(t) их легко найти по формуле (5.3.8).
.
рис. 5.3 Линии уровня среднеквадратичной ошибки http://s8.uploads.ru/RgZFO.gifs(http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif,http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif,t) при фиксированном t
.
Формула (5.3.9) показывает, что "линии уровня"среднеквадратичных ошибок являются эллипсами на плоскости (http://s8.uploads.ru/BS3rU.gif,http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gif). См. рис. 5.3. Центром эллипса является точка (http://s8.uploads.ru/BS3rU.gifstat,http://s9.uploads.ru/PZJ8d.gifstat), в которой значение среднеквадратичной ошибки равно http://s8.uploads.ru/RgZFO.gifsmin. Направления осей эллипсов и соотношение между ними определяются стандартными формулами аналитической геометрии через величины a11,a12,a22. А именно, угол наклона http://s9.uploads.ru/t/TB974.gif одной из осей эллипса определяется соотношением:
.
http://s9.uploads.ru/IxLMb.gif

Вторая ось перпендикулярна ей. Длины осей относятся друг к другу как http://s8.uploads.ru/t/7eYBE.gif1/http://s8.uploads.ru/t/7eYBE.gif2, где http://s8.uploads.ru/t/7eYBE.gif1 и http://s8.uploads.ru/t/7eYBE.gif2 – корни квадратного уравнения
.

http://s8.uploads.ru/yZjo6.gif

69

5. 4 Изменение параметров http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t) с течением времени
.
Выше мы предполагали, что момент времени t является фиксированным. Сейчас мы рассмотрим поведение найденных величин http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat в зависимости от времени.
.
Это поведение можно определить из формул, приведенных в предыдущем разделе. В эти формулы входят величины Li(t) и Bi(t), которые и порождают зависимость http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat от времени. Изменение долгот Li(t) и широт Bi(t) со временем - вещь хорошо изученная. См. главу 1. Соответствующие, достаточно громоздкие, расчеты были фактически проделаны нами с помощью компьютера при численном нахождении зависимостей оценок http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t) от времени. См.главу 6. Здесь мы пока ограничимся анализом лишь качественного поведения этих функций.
.
Рассмотрим вновь звездную сферу и будем здесь считать для простоты, что все звезды на ней НЕПОДВИЖНЫ. Таким образом, мы возвращаемся сейчас к представлениям Птолемея, хотя делаем это только ради упрощения рассуждений и выкладок. Мы можем так поступить, поскольку количество звезд, имеющих заметную скорость собственного движения, - то есть смещающихся на расстояние нескольких дуговых минут за рассматриваемый промежуток времени в 2500 лет, - сравнительно невелико. Наличие таких звезд практически не влияет на оценки параметров http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t), которыми мы сейчас занимаемся.
http://s9.uploads.ru/rnOyj.jpg
Рис. 5. 4: Геометрия определения углов http://s8.uploads.ru/TAW1R.gif и http://s9.uploads.ru/kbz2x.gif на звездной сфере
.

На рис. 5.4 изображена звездная сфера и реальная эклиптика эпохи tA составления каталога. Полезно сравнитьРис. 5.1 и рис. 5.4. В неизвестную нам эпоху tA полюс эклиптики P(tA) занимал некоторое, вполне определенное, положение на сфере. Составитель каталога конечно же отметил эклиптику на звездной сфере не идеально точно. Поэтому полюс PA отмеченной им "эклиптики каталога"занял положение, вообще говоря, отличное от P(tA).
.
Проведем через полюс P(tA) дугу большого круга, соединяющую его с точками весеннего равноденствия Q и осеннего равноденствия R. Дополнительно проведем через P(tA) дугу большого круга D(tA)D(tA), пересекающую только что построенную дугу QP(tA)R под прямым углом в точке P(tA). Если бы дата tA была нам известна, то метод наименьших квадратов, описанный в разделе 3, позволил бы найти параметры http://s9.uploads.ru/kbz2x.gif и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gif, определяющие взаимное расположение эклиптики эпохи tA и эклиптики каталога. Из рис. 5.4 следует, что эти же углы определяют и взаимное положение полюсов P(tA) и PA на звездной сфере. А именно, величина http://s9.uploads.ru/kbz2x.gif  равна длине дуги P(tA)PA, в дуговых величинах, а угол http://s8.uploads.ru/TAW1R.gif
равен углу PAP(tA)D(tA). С течением времени, как отмечалось в главе 1, положение эклиптики на звездной сфере изменяется. Это – эффект колебания эклиптики. Поэтому полюс эклиптики в момент t, отличный от tA, окажется в точке P(t), также отличной от P(tA). Траектория полюса эклиптики на звездной сфере показана на рис. 5.4 пунктирной линией, проходящей через точки P(t) и P(tA). И тогда, чтобы совместить эклиптику эпохи t и эклиптику каталога, нужно совместить полюса PA и P(t). Длина дуги P(t)PA равна величине http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t). Положение же оси вращения эклиптики, обеспечивающего данное совмещение, можно параметризовать углом PAP(t)Dhttp://s8.uploads.ru/6Wchx.gif(t), где дуга D(t)Dhttp://s8.uploads.ru/6Wchx.gif(t) "параллельна"дуге D(tA)Dhttp://s8.uploads.ru/6Wchx.gif(tA).
.
Чтобы разобраться в качественном поведении функций http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t), обратимся к плоскому рисунку, на котором изобразим лишь перемещение полюсов эклиптики. Это допустимо, поскольку величины их смещений заведомо лежат в пределах одного градуса. Перенесем с рис. 5.4 на плоскость картину вблизи северного полюса эклиптики, рис. 5.5.
http://s8.uploads.ru/Zqa8u.jpg
Рис. 5. 5: Определение качественной зависимости http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t) от времени
.

Как видно из рис. 5.5, реальный полюс эклиптики с течением времени перемещается вследствие колебания эклиптики. На рассматриваемом интервале времени данное перемещение составляет всего около 25http://s8.uploads.ru/6Wchx.gif. Поэтому его можно изобразить отрезком прямой. См. пунктирную прямую на рис. 5.5. Движение полюса эклиптики вдоль этой прямой с большой точностью можно считать равномерным. Поэтому, например, расстояние между полюсами P(t) и P(tA) равно v(tA - t), где v – скорость движения полюса эклиптики. Эта скорость равна приблизительно 0, 01http://s8.uploads.ru/6Wchx.gif в год. Как уже говорилось, в эпоху наблюдений tA, из-за ошибки в положении эклиптики, сделанной составителем каталога, полюс эклиптики каталога попал в точку PA, отличную от P(tA). Если при этом перпендикуляр, опущенный из точки PA на траекторию движения полюса эклиптики, пересек ее в точке t* > t A, как изображено на рис. 5.5, то такая ошибка составителя очевидно "старит"эклиптику каталога. А именно, эклиптика каталога точнее всего будет отвечать эклиптике года t*. В противном случае, – то есть если указанный перпендикуляр пересек траекторию в точке t* < t A, – ошибка автора, напротив, "омолаживает"каталог. Чтобы дать представление о реальных соотношениях величин, укажем, что для Альмагеста расстояние между полюсом P(0) эклиптики на 1900 год н.э. и полюсом P(19) на начало нашей эры составляет около 20http://s8.uploads.ru/6Wchx.gif. Приблизительно такое же значение имеет и ошибка http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(tA).
.
Как было сказано, величина http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(tA) равна длине отрезка P(tA)PA, а http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(tA) – углу PAP(tA)Dhttp://s8.uploads.ru/6Wchx.gif(tA). Аналогично, http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) = P(t)PA. Здесь чертой сверху обозначена длина отрезка. Однако угол PAP(t)Dhttp://s8.uploads.ru/6Wchx.gif(t) не равен http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t), поскольку к моменту t ось весеннего равноденствия сместилась на величину  http://s8.uploads.ru/Pcz7O.gif(tA -t). Здесь  http://s8.uploads.ru/Pcz7O.gif – угловая скорость прецессии, равная приблизительно 50http://s8.uploads.ru/6Wchx.gifhttp://s8.uploads.ru/6Wchx.gif в год. См. главу 1. Это смещение соответствует на рис. 5.5 величине угла Dhttp://s8.uploads.ru/6Wchx.gif(t)P(t)S(t). Таким образом, http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t) = http://s9.uploads.ru/qxfcU.gifPAP(t)S(t), причем http://s9.uploads.ru/qxfcU.gifDhttp://s8.uploads.ru/6Wchx.gif(t)P(t)S(t) = http://s8.uploads.ru/Pcz7O.gif(tA - t).
.
Чтобы не использовать далее столь громоздкие обозначения, положим
       ----------                              --------
http://s9.uploads.ru/sdruB.gif

Величину http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(tA) можно назвать ОШИБКОЙ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКЛИПТИКИ. Для Альмагеста она имеет порядок 20http://s8.uploads.ru/6Wchx.gif. Угол http://s8.uploads.ru/v4ajE.gif не зависит от t и равен углу между направлением движения полюса эклиптики и определенной ранее прямой D(tA)Dhttp://s8.uploads.ru/6Wchx.gif(tA). Очевидно, что
http://s9.uploads.ru/MqyAX.gif
Поскольку x(t) = v(tA - t), то из рис. 5.5 следует, что
http://s9.uploads.ru/nPvyf.gif(5.15)

Очевидно, что эта функция достигает минимального значения при t = t*. Если же рассматривается случай http://s8.uploads.ru/OXlTz.gift-tAhttp://s8.uploads.ru/OXlTz.gifhttp://s9.uploads.ru/p34t7.gifhttp://s8.uploads.ru/OXlTz.giftA -t*http://s8.uploads.ru/OXlTz.gif, то функция  http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) ведет себя практически как линейная:
http://s8.uploads.ru/Ivaj1.gif
Нетрудно найти также функцию stat(t):
http://s9.uploads.ru/AePjo.gif(5. 16)
И вновь, если http://s8.uploads.ru/OXlTz.gift - tAhttp://s8.uploads.ru/OXlTz.gifhttp://s8.uploads.ru/OXlTz.giftA - t*http://s8.uploads.ru/OXlTz.gif, можно воспользоваться линейным приближением:
http://s9.uploads.ru/Agt9d.gif

Разумеется, найденные формулы дают лишь общее представление о характере функций http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t). На рис. 5.6 изображен примерный вид этих функций, получаемый из формул (5.4.1) и (5.4.2). Естественно, конкретный их вид зависит от значения ошибки, совершенной составителем каталога. То есть, от величин http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(tA) и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(tA). Формулы (5.4.1) и (5.4.2) определяют также вид зависимости http://s8.uploads.ru/mje0D.gifstat(t). См. формулу (5.2.1).
http://s9.uploads.ru/Z4B8N.jpg
Рис. 5. 6: Примерный вид функций http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t)
.

Обсудим геометрический смысл данных построений. Рассмотрим птолемеевские координаты какой-либо группы звезд, считая что его наблюдения были выполнены в момент времени t. В этом предположении, устраним систематическую ошибку http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t),  http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t), то есть повернем всю группу звезд на угол http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) вокруг оси, отстоящей от оси равноденствия на угол http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t)). Для простоты предположим, что систематическую ошибку мы нашли совершенно точно. Тогда полюс эклиптики каталога PA совместится с реальным полюсом P(t). Разумеется, после такого совмещения широтные невязки звезд все равно не станут равными нулю, так как в каталоге присутствуют еще случайные ошибки. Однако случайные ошибки, имея нулевое среднее, НЕ СМЕЩАЮТ ПОЛОЖЕНИЕ ПОЛЮСА ЭКЛИПТИКИ. Вернее, смещают ее лишь на малую величину, которая тем меньше, чем больше рассматриваемая совокупность звезд.
.
Из рис. 5.5 видно, что перемещение полюса PA в точку P(t) разлагается ЕДИНСТВЕННЫМ способом в композицию двух перемещений: PA http://s9.uploads.ru/76QKV.gif P(tA) и P(tA) http://s9.uploads.ru/76QKV.gif P(t). Параметры http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(tA) и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(tA), задающие первое перемещение, имеют смысл ошибки наблюдателя. А именно – той ошибки, которую совершил составитель каталога в определении положения плоскости эклиптики. Второе перемещение обусловлено вековым колебанием плоскости эклиптики, Это колебание можно рассчитать по теории Ньюкомба.
.
Из сказанного вытекает также следующий вывод. Обозначим через http://s9.uploads.ru/HZsl8.gifBi(t) широтную невязку i-й звезды, рассчитанную на момент t предполагаемых наблюдений, а через http://s9.uploads.ru/HZsl8.gifBi0(t) = http://s9.uploads.ru/HZsl8.gifB i(t) - http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) sin(Li(t) + http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t)) – ее широтную невязку на момент t после компенсации систематической ошибки. Тогда ДЛЯ СОВОКУПНОСТИ, СОСТОЯЩИЙ ИЗ ПОЛНОСТЬЮ НЕПОДВИЖНЫХ ЗВЕЗД, ВЕЛИЧИНЫ http://s9.uploads.ru/HZsl8.gifBi0(t) НЕ ЗАВИСЯТ ОТ t И РАВНЫ СЛУЧАЙНЫМ ОШИБКАМ, ДОПУЩЕННЫМ СОСТАВИТЕЛЕМ КАТАЛОГА ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ШИРОТ. Ситуация меняется, если в рассматриваемую совокупность входят ПОДВИЖНЫЕ звезды. Для них величины http://s9.uploads.ru/HZsl8.gifBi0(t) будут зависеть от времени t. Характер зависимости определяется как величинами индивидуальных случайных ошибок, так и направлением скоростей собственного движения звезд в совокупности. В частности, в неизвестную нам эпоху tA величина http://s9.uploads.ru/HZsl8.gifBi0(t A) равна случайной широтной ошибке для звезды i. Естественно ожидать, что если эта звезда быстро движется и, кроме того, хорошо измерена, то величина http://s8.uploads.ru/OXlTz.gifhttp://s9.uploads.ru/HZsl8.gifBi0(t)http://s8.uploads.ru/OXlTz.gif достигает минимума в окрестности точки tA. Величина этой окрестности зависит от величины и направления скорости собственного движения звезды и даже для самых быстрых звезд, например Арктура, составляет сотни лет.
.
Из приведенного выше рассуждения и, в частности, из рис. 5.5, следует важный вывод. А именно: ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛЮСА ЭКЛИПТИКИ КАТАЛОГА PA ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЯ ЛИШЬ ДВУХ ЗНАЧЕНИЙ http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat, СООТВЕТСТВУЮЩИХ РАЗЛИЧНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ МОМЕНТОВ ВРЕМЕНИ t1 И t2.

Глава 5
5. 4 Изменение параметров stat(t) и stat(t) с течением времени (продолжение)
Рис. 5. 7: Нахождение величин stat(t) и stat(t)

70

http://s9.uploads.ru/kBhg3.jpg
Рис. 5. 7: Нахождение величин http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t)
.

В самом деле, из теории Ньюкомба нетрудно найти скорость перемещения полюса эклиптики v. См. главу 1. Зафиксируем два произвольных различных момента времени t1 и t2. См. рис. 5.7. С помощью формулы (5.3.7) найдем значения http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t1) и http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t2). Изобразим прямую, по которой перемещается во времени полюс эклиптики. Отметим на ней точки t1 и t2. Выберем такой масштаб, чтобы расстояние между отмеченными точками равнялось v∣t2 - t1∣. Положение полюса эклиптики каталога PA определяется как точка пересечения двух окружностей с центрами в точках ti и радиусами  http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(ti),i = 1, 2. Из рис. 5.7 ясно, как при этом определяются величины http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t) для произвольного значения времени t. Необходимо лишь сказать, что прямая Shttp://s8.uploads.ru/6Wchx.gifS, от которой отсчитывается угол http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t), пересекает траекторию движения полюса эклиптики под углом http://s9.uploads.ru/g9V1v.gif
(t). Угол этот также находится из теории Ньюкомба. Астрономический смысл прямой Shttp://s8.uploads.ru/6Wchx.gifS весьма нагляден. Это "спрямленная"часть большого круга звездной сферы, проходящего через полюс эклиптики P(t) эпохи t и перпендикулярного в точке P(t) другому большому кругу, также проходящему через P(t) и точки равноденствия эпохи t.
.
Аналогично, для определения параметров http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t) при всех t достаточно знать лишь два значения: http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t1) и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t2).
.
Мы, однако, будем работать с углом http://s9.uploads.ru/kbz2x.gif. Он имеет содержательный смысл: это – ошибка в определении угла наклона между плоскостями экватора и эклиптикой. Заметим, что этот угол фиксируется, например, в армиллярной сфере. Следовательно, ошибка http://s9.uploads.ru/kbz2x.gif, допущенная в этом угле, может являться инструментальной ошибкой армиллярной сферы. См. главу 1. Таким образом, ошибка http://s9.uploads.ru/kbz2x.gif естественным образом возникает при астрономических измерениях. Кроме того, выбор http://s9.uploads.ru/kbz2x.gif в качестве параметра будет нами далее обоснован и со статистической точки зрения.

71

5. 5 Статистические свойства оценок http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat
.

Сейчас мы подойдем к задаче оценки параметров http://s9.uploads.ru/kbz2x.gif и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gif, задающих систематическую ошибку каталога, как к задаче статистической. Для этого предположим следующее. Пусть составитель каталога в момент времени tA совершил систематическую ошибку, задаваемую параметрами http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifA и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifA. Пусть, кроме того, широта каждой измеренной им звезды подвергалась, – вследствие ошибки наблюдения, – случайному возмущению http://s8.uploads.ru/26qkb.gif, имеющему нулевое среднее, то есть Ehttp://s8.uploads.ru/26qkb.gifi = 0. Предполагается, что случайные погрешности http://s8.uploads.ru/26qkb.gifi, отвечающие различным звездам, независимы и имеют одно и то же распределение. Пусть http://s8.uploads.ru/26qkb.gif2 = Ehttp://s8.uploads.ru/26qkb.gif i2 – дисперсия случайной величины http://s8.uploads.ru/26qkb.gif i. Эта дисперсия нам, вообще говоря, неизвестна.
.
В этих предположениях широта i-той звезды в каталоге будет иметь вид
http://s9.uploads.ru/K4mfh.gif
(5. 17)
.

Со статистической точки зрения мы имеем выборку, состоящую из N реализаций случайных величин {bi}i=1N вида (5.5.1). По этой выборке требуется определить статистические оценки  gˆhttp://s9.uploads.ru/kbz2x.gif и fˆhttp://s8.uploads.ru/TAW1R.gif параметров http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifA и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifA, а также оценить величину http://s8.uploads.ru/26qkb.gif, представляющую собой среднеквадратичную ошибку наблюдения. Мы сразу ограничим задачу и будем изучать оценки http://s8.uploads.ru/TAW1R.giffˆ = http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat и http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifˆg = http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat, получаемые методом наименьших квадратов. Эти оценки имеют вид (5.3.6), (5.3.7). Основное внимание будет уделено оценке величины http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifA по причинам, объясненным в конце раздела 4.
.
Равенство (5.5.1) имеет вид, традиционный для регрессионного анализа. В самом деле, это равенство утверждает, что ошибка наблюдения  bi = Bi(tA) -bi является случайной величиной со средним A sin(Li(tA) + http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifA), зависящим от неизвестных параметров A и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifA, и дисперсией http://s8.uploads.ru/26qkb.gif2. Требуется оценить значения неизвестных параметров методом наименьших квадратов и установить статистические свойства полученных оценок. В такой постановке кривую Y (x) = http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifA sin(x + http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifA) обычно называют ЛИНИЕЙ РЕГРЕССИИ.
.
Определим величины http://s8.uploads.ru/TAW1R.gif и http://s9.uploads.ru/kbz2x.gif с помощью соотношений (5.3.6) и (5.3.7). Отклонения bi случайны по предположению. Поэтому и получаемые из соотношений (5.3.6) и (5.3.7) оценки http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat и http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat также являются случайными величинами. Изучим их статистические свойства и рассмотрим, как они связаны с истинными, но неизвестными нам, значениями http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifA и http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifA.
.
Подставим в приведенные выше формулы для sb и cb вместо bi разность http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifA sin(Li(tA) + http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifA) - http://s8.uploads.ru/26qkb.gifi и используем эту подстановку в формулах (5.3.6), (5.3.7). Получим следующие выражения для величин http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat и http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat.
http://s8.uploads.ru/d7ksm.gif(5.18) (5.19)
.
Введем величину
http://s9.uploads.ru/sNvng.gif
Тогда (5.5.2) можно записать в виде
http://s9.uploads.ru/45M1C.gif(5. 20)
а (5.5.3) – в виде
http://s8.uploads.ru/AnGP2.gif
Из условия Ehttp://s8.uploads.ru/26qkb.gifi = 0 находим, что полученная оценка параметра http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat является несмещенной, то есть
http://s8.uploads.ru/2nY0O.gif(5. 21)
Дисперсия же оценки http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat, обозначаемая Dg, имеет вид
http://s8.uploads.ru/IRWAO.gif(5. 22)

Если ошибки наблюдения qi нормально распределены, то и величина http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat является нормально распределенной, и первые два момента (5.5.5) и (5.5.6) полностью определяют ее распределение. Этот факт даст нам возможность построить доверительный интервал для значения http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifA.
.
Анализ оценки http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat несколько более сложен. Воспользуемся следующим равенством, получаемым из (5.5.4):
http://s8.uploads.ru/rTxv3.gif(5.23,)
и тем фактом, что при больших N второе слагаемое в знаменателе правой части (5.5.7) – величина малая. В самом деле, эта величина – случайная с нулевым средним и дисперсией
http://s8.uploads.ru/rw4Ac.gif
Если http://s8.uploads.ru/26qkb.gifi нормально распределены, то и рассматриваемая величина также нормально распределена. Из этого факта для каталога Альмагеста следует, что уже для N = 30 вероятность pN того, что знаменатель правой части (5.5.7) будет отрицательным, не превосходит 5 ⋅ 10-3. С ростом N данная вероятность быстро убывает: p50 ≤ 2, 5 ⋅ 10-4, p 80 ≤ 4 ⋅ 10-6, p 100 ≤ 3 ⋅ 10-7, p 200 ≤ 8 ⋅ 10-13, p 300 ≤ 2, 5 ⋅ 10-18.
.
Из формулы (5.5.7) следует, что, вообще говоря, E tan  http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat⁄= tan http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifA. Однако из этой формулы легко получить функцию распределения F(x) случайной величины tan http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat - tan http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifA, необходимую при нахождении доверительного интервала для http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifA. В самом деле, если пренебречь тем маловероятным случаем, что знаменатель в (5.5.7) становится отрицательным, то из этой формулы получается выражение для F(x):
http://s8.uploads.ru/PXnvD.gif
где случайная величина jx имеет вид
http://s9.uploads.ru/cHSP9.gif

Следовательно, если величины http://s8.uploads.ru/26qkb.gifi нормально распределены с дисперсией http://s8.uploads.ru/26qkb.gif2, то и величина j x имеет гауссовское распределение со средним, равным нулю, и дисперсией
http://s8.uploads.ru/iP7oF.gif(5. 24)
.
Следовательно,
http://s8.uploads.ru/VU7qm.gif(5. 25)
.
где (x) = (2)-1/2  -∞x exp(-u2/2) du.
.

Найденные выше значения http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat являются, как говорят, ТОЧЕЧНЫМИ ОЦЕНКАМИ неизвестных параметров http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifA и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifA. Поскольку найдены функции распределения этих оценок, то можно исследовать вопрос об их возможной погрешности. Дадим ответ на этот вопрос в стандартных терминах ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ, основываясь на формулах (5.5.5), (5.5.6), (5.5.8), (5.5.9).
.
В математической статистике задача нахождения доверительного интервала порождена следующей ситуацией, которую поясним на примере оценки величины http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifA. Эта величина является вполне определенной, детерминированной ошибкой, сделанной составителем каталога. В результате статистической оценки http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifA, – в нашем случае по методу наименьших квадратов – получается СЛУЧАЙНАЯ величина  http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat. Возникает вопрос, какие границы можно указать для неизвестной нам величины http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifA, если мы определили  http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat?
.
Чтобы границы эти не оказались тривиальными, необходимо задать допустимую вероятность ошибки. То есть, вероятность указать такие границы, в которых истинное значение http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifA не лежит. Обозначим допустимую вероятность ошибки через . Тогда уровень доверия будет равен равен 1 -. Случайная величина http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat распределена по нормальному закону с параметрами, задаваемыми формулами (5.5.5) и (5.5.6). Поэтому при x > 0 имеем
http://s8.uploads.ru/OTDpn.gif
Определим величину x из уравнения
http://s9.uploads.ru/z4Vsn.gif
или, что то же, из уравнения Φ(-http://s8.uploads.ru/aJxlU.gif V~ ---
  Dg x) = /2.
Тогда интервал
http://s8.uploads.ru/03LXR.gif(5. 26)

представляет собой доверительный интервал для http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifA с уровнем доверия 1 -. Это следует из того, что P(stat - A∣≥ x) = .
.
При определении величины x мы, в частности, использовали значение Dg, которое зависит от неизвестных нам параметров s2 и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifA. Как это обычно делается в математической статистике, вместо http://s8.uploads.ru/26qkb.gif2 подставим в формулу для Dg сходящуюся к ней ОСТАТОЧНУЮ дисперсию. См. (5.3.3). Получим:
http://s8.uploads.ru/eiL2G.gif
а вместо http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifA – величину http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat. Момент tA составления каталога нам также неизвестен, поэтому все перечисленные выше вычисления необходимо проделать для всех моментов времени t с тем, чтобы оценить систематическую ошибку http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t),http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t) при условии, что каталог был составлен в произвольную фиксированную эпоху t.
.
Аналогичным образом можно найти доверительный интервал для A с уровнем доверия 1 - . Этот интервал If() будет таким:
http://s9.uploads.ru/bw9dD.gif
где y – решение уравнения F(y) - F(-y) = 1 - , в котором функция распределения F задана равенством (5.5.9).
.

ЗАМЕЧАНИЕ. Определение параметров http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t) нацелено на последующую компенсацию этих ошибок в эпоху t, рассматриваемую как возможное время составления каталога. При этом зависимость данных параметров от t обязана лишь вековому движению полюса эклиптики. Полученные выше оценки истинных значений ошибок http://s9.uploads.ru/kbz2x.gif и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gif в каталоге, как функций априорной датировки, важны не только с чисто познавательной точки зрения, но и для косвенной проверки правильности предлагаемого подхода. Например, если бы в качестве http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat была получена величина, в несколько раз превышающая точность каталога, это указывало бы на какие-то неучтенные нами существенные эффекты.
.
Однако если речь идет лишь о датировке, то само значение  http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat в соответствующей процедуре не участвует. Нам необходимо лишь знание длины соответствующего доверительного интервала. Поэтому возможно существенное упрощение вычислений, состоящее в следующем. Вычисляются http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat, относящиеся к любому фиксированному моменту времени t0. Например, к 1900 году, для чего не требуется использования уравнений Ньюкомба. Тогда вместо кривых http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat(t) и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat(t) мы получим постоянные значения, соответствующие ошибкам наблюдений, но только не в координатах эпохи наблюдений, а в координатах эпохи 1900 года. Затем вокруг этих постоянных значений откладываются доверительные интервалы, ширина которых от t не зависит. В результате статистической процедуры датировки, описываемой ниже, будет получен тот же интервал возможных датировок каталога, что и при оценивании ошибок http://s9.uploads.ru/kbz2x.gif и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gif относительно координат на эпоху априорной датировки t. Единственная информация, которая при этом будет потеряна, – это оценки истинных значений величин  http://s9.uploads.ru/kbz2x.gifstat и http://s8.uploads.ru/TAW1R.gifstat.

72

5. 6 Выводы
.

ВЫВОД 1. Групповая ошибка звездной конфигурации сводится к перемещению этой конфигурации как единого целого по небесной сфере. Данное перемещение, при учете лишь широтных невязок, можно параметризовать двумя параметрами. А именно,  и , либо  и b.
.
ВЫВОД 2. Существующие в каталоге широтные невязки могут быть уменьшены за счет компенсации групповых ошибок.
.
ВЫВОД 3. Если в большой части каталога групповые ошибки совпадают, то эта общая ошибка называется СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ и может быть обнаружена статистическими методами.
.
При условии, что каталог был составлен в эпоху t, значения параметров  (t) и (t) можно оценить методом наименьших квадратов. Соответствующие оценки stat(t) и stat(t) имеют вид (5.3.6) и (5.3.7) соответственно.
.
ВЫВОД 4. Знания значений stat(t1) и stat(t2) для двух различных моментов времени достаточно для восстановления функций stat(t) и stat(t).
.
ВЫВОД 5. В предположении нормального распределения случайных ошибок измерения найдены доверительные интервалы I() и I() для истинных значений параметров (t) и (t). См. формулы (5.5.11) и (5.5.10) соответственно.
.
В заключение, на рис. 5.8, приведем страницу из Альмагеста издания якобы 1551 года.
http://s8.uploads.ru/brSIp.jpg
Рис. 5. 8: Страница из издания Альмагеста якобы 1551 года

73

Глава 6>
.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ И ТОЧНОСТНЫЕ СВОЙСТВА КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА
.
6.1 Вводные замечания

.

В предыдущих главах мы выяснили, что одной из узловых проблем при датировании Альмагеста по собственным движениям звезд является проблема реальной точности звездных широт каталога Альмагеста в различных областях неба. Таким образом, необходим тщательный анализ ошибок звездных координат как каталога в целом, так и его частей по отдельности. Предварительный, довольно грубый анализ был уже проведен выше, в главах 2 и 4.
.
Основным инструментом этой главы будут методы определения систематических ошибок звездных координат, описанные в главе 5. Прежде всего, мы покажем, что выделенные выше семь областей звездного атласа Альмагеста действительно отличаются друг от друга как величиной систематической ошибки, так и случайными погрешностями измерений. Мы найдем для этих областей ошибки в положении полюса эклиптики и величины остаточных среднеквадратичных ошибок звездных координат. Кроме того, в каждой области будут построены доверительные интервалы для параметров систематической ошибки  stat и  stat.
.
Далее, мы проанализируем сравнительно малые участки звездного неба - созвездия и окружения отдельных звезд. Цель этого анализа - убедиться, что найденные значения  stat и  stat действительно имеют природу систематических ошибок в достаточно больших частях каталога Альмагеста, а не являются результатом наложения множества групповых ошибок, различных для разных небольших групп звезд.
.
В результате, будет выделена хорошо измеренная Птолемеем область звездного неба. Забегая вперед, отметим, что эта область оказалась довольно значительной. Наша датировка каталога Альмагеста будет основываться на птолемеевских координатах звезд именно в этой, хорошо измеренной им области.

74

6.2Семь областей звездного неба
6.2.1 Характеристика обнаруженных семи областей в атласе Альмагеста
.

В главе 2 были описаны семь областей звездного неба, естественным образом выделяющиеся на небе, а также отчетливо "проявляющие себя"в каталоге Альмагеста, рис.6.1.
http://s9.uploads.ru/idEm7.jpg
рис.6.1: Семь областей, обнаруженные на звездном атласе Альмагеста. Черными точками отмечены именные звезды
.

В этой главе мы проанализируем птолемеевские координаты в общей сложности 864 звезд из этих областей. Некоторые звезды при данном анализе были сразу отброшены. Так, по причинам, разъясненным в главе 2, были исключены из рассмотрения так называемые звезды-информаты, то есть звезды не входящие в канонические созвездия. Мы исключили также звезды-"выбросы", и неоднозначно отождествляемые звезды. Табл.6.1 содержит точные указания - какие именно звезды Альмагеста входят в ту или иную область и какое количество звезд осталось в каждой области после указанной "чистки". В этой таблице для звезд использованы номера Байли, то есть сквозные номера в каталоге Альмагеста.
.
Обратимся к рис.6.1, схематично изображающему разбиение неба на указанные области. На нем черными точками отмечены все 12 именных звезд Альмагеста. Легко видеть, что контур области A совершенно явно очерчен именными звездами Альмагеста. Возникает впечатление, что Птолемей придавал области неба A какое-то особое значение. Это подтвеждается и нашим предварительным анализом в главе 2. Как мы увидим в дальнейшем, часть A оказывается самой важной для датировки. Отметим, между прочим, что именно эта часть содержит полюс мира N и полюс эклиптики P.
.
Именные звезды, окаймляющие область A, по всей видимости служили опорными для наблюдений Птолемея. Отправляясь от них, он двигался внутрь части неба A, измеряя координаты остальных звезд. При движении от звезды к звезде неизбежно накапливались ошибки измерений. Поэтому можно ожидать, что звезды области неба A, лежащие вне Зодиака, будут в среднем измерены чуть хуже, чем зодиакальные звезды. Поскольку половина именных звезд Альмагеста, - 6 из 12-ти - либо лежат на Зодиаке, либо находятся в непосредственной близости от него. На Зодиаке расположены Регул, Спика, Антарес, Превиндемиатрикс, Аселли. Непосредственно примыкает к Зодиаку Процион.
6.2.2 Расположение полюсов эклиптики для каждой из семи областей звездного атласа Альмагеста
.

Найдем сначала расположение полюсов эклиптики для каждой из семи выделенных нами областей неба в Альмагесте. В главе 5 показано, что положение полюса эклиптики относительно звезд каталога задается параметрами   stat и  stat. Эти параметры определяются по каталогу методом наименьших квадратов по формулам (5.3.6) и (5.3.7).
.
Рассчитаем по формулам (5.3.6) и (5.3.7) значения параметров   stat и  stat для каждой из семи областей неба по отдельности. После этого изобразим соответствующее каждой области положение полюса эклиптики на рис.6.2. Кроме того, на этом же рисунке изобразим движение РЕАЛЬНОГО полюса эклиптики P(t) при изменении априорной эпохи t от 1 до 25. То есть, напомним, - от 1900 года н.э. в прошлое до 400 года до н.э.
.
На этом рисунке изображен в качестве примера отрезок, соединяющий полюс эклиптики для части неба B с реальным полюсом эклиптики в эпоху t = 10, который обозначен P(10). Длина этого отрезка равна величине  statВ(10). Угол между этим отрезком и прямой, изображающей дугу D(10)D(10), определение которой было дано в связи с рис.5.4 и рис.5.5, равен  statВ(10). Естественно, в качестве t можно взять любую другую эпоху, а вместо области B любую другую область - и "считать"с рис.6.2 соотвествующие значения  stat и  stat.
.
рис.6.2: Взаимное расположение движущегося полюса эклиптики P(t) и полюсов эклиптики, определяемых для каждой из семи частей каталога Альмагеста
.
В табл.6.2 приведены рассчитанные нами значения  stat(18) и  stat(18) для всех семи областей неба. Эти значения однозначно задают положение полюса "эклиптики наблюдателя"для каждой области по отдельности. Впрочем, мы могли бы с тем же успехом взять любую пару значений  stat( t), stat( t) для произвольного t. См. раздел 5.4. Кроме того, в табл.6.2 приведены исходная  init(18) и остаточная  min среднеквадратичные широтные невязки, получившиеся после компенсации систематической ошибки. См. формулы (5.3.2), (5.3.3). В разделе 5.4 мы показали, что  min не зависит от рассматриваемого момента времени t, если пренебречь слабым влиянием собственного движения звезд. Таким образом,  min задается лишь положением полюса эклиптики, статистически определяемого по данной группе звезд Альмагеста.
.
По поводу собственного движения звезд отметим, что оно практически не влияет ни на оценку систематической ошибки  stat( t),stat( t), ни на остаточную среднеквадратичную погрешность звездных координат в каталоге Альмагеста. Поэтому о влиянии собственных движений мы здесь пока можем не говорить. Хотя, конечно, в наших расчетах оно всегда учитывалось.
.
Значение t = 18 выбрано в табл.6.2 лишь по причине соответствия этого момента времени скалигеровской датировке Альмагеста.
.
Далее, в табл.6.2 приведены следующие статистические характеристики точности звездных координат Альмагеста. Величина p init(18) - это доля звезд, получивших при датировке каталога 100-м годом н.э. (t = 18) широтную невязку не более 10. Напомним, 10 - это цена деления шкалы каталога Альмагеста. Величина p min - это доля звезд, получивших широтную невязку не более 10после компенсации систематической ошибки. Для рассматриваемых здесь больших совокупностей звезд эта величина от датировки наблюдений практически не зависит.
.
Показанное на рис.6.2 расположение статистически определяемых полюсов Альмагеста по отношению к траектории движения истинного полюса говорит о том, что СИСТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА во всех областях неба, кроме области C, "УДРЕВНЯЕТ"каталог даже по сравнению со временем Гиппарха. Напротив, минимум систематической ошибки в области неба C приходится на t ≈ 10, то есть на ≈ 900 год н.э. Однако, как указывалось ранее, расположение полюса "эклиптики Птолемея"НЕ ИМЕЕТ НИКАКОГО ОТНОШЕНИЯ К ДАТЕ СОСТАВЛЕНИЯ КАТАЛОГА. Это расположение указывает лишь на характер и величину систематической ошибки, совершенной Птолемеем при измерении координат звезд в той или иной части неба.
.
Из рис.6.2 следует также, что статистически определяемые положения полюса для областей A,ZodA,ZodB расположены достаточно близко друг к другу. То есть, в этих частях неба Птолемеем сделана по-видимому ОДНА И ТА ЖЕ СИСТЕМАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА. Мы вернемся к этому ниже при анализе отдельных созвездий Альмагеста. Далее, полюс эклиптики, определяемый по области В каталога Альмагеста, как видно из рис.6.2, тоже расположен тоже рядом с группой A,ZodA,ZodB. Несколько дальше отстит положение полюса для области M и еще дальше - для D. По-видимому, в областях M и D систематическая ошибка Альмагеста другая, отличная, от ошибки в области ZodA. Явным "выбросом"на рис.6.2 выглядит область C.

75

6.2.3 Вычисление доверительных интервалов
.

В предыдущем разделе, для неизвестных нам параметров систематической ошибки каталога Альмагеста  и varphi были вычислены точечные статистические оценки  stat и  stat. Найдем теперь соответствующие ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ для  и varphi. Определение доверительных интервалов мы уже напоминали в разделе 5.5.
.
Представим результат в наглядной форме следующим образом. Сначала для каждой из рассматриваемых областей неба построим графики зависимости от t оценок  stat( t) и  stat( t), 1 ≤ t ≤ 25. Затем изобразим на получившихся графиках полосы, вертикальными сечениями которых являются доверительные интервалы I g(),I  f() с уровнем доверия  = 0, 1. Доверительные интервалы мы рассчитаем по формулам (5.5.10) и (5.5.11).
.
Результат расчетов показан на рис.6.3, рис.6.4,

http://s9.uploads.ru/HrcVF.jpg
http://s8.uploads.ru/IVFyb.jpg

76

http://s8.uploads.ru/ZAYzl.jpg
http://s8.uploads.ru/u0Eod.jpg
рис.6.5, рис.6.6,

77

http://s8.uploads.ru/KBUd3.jpg
http://s8.uploads.ru/JrS3c.jpg
рис.6.7, рис.6.8,

78

http://s9.uploads.ru/nJ46g.jpg
рис.6.9. Более полная информация о границах доверительных интервалов для различных уровней доверия  и двух значений априорной датировки каталога Альмагеста, - t = 7(1200г.н.э.) и t = 18(100г.н.э.) - содержится в табл.6.3. В этой таблице приведены значения полуширины доверительных интервалов I g(). Напомним, что центром доверительного интервала для  при каждом фиксированном t является несмещенная оценка  stat( t). См. раздел 5.5. Доверительный интервал I f() для  располагается, вообще говоря, асимметрично относительно  stat( t), поскольку эта оценка может быть смещена. Однако указанная асимметрия достаточно мала и приближенно можно считать  stat( t) серединой доверительного интервала. Через x e g в таблице обозначена полуширина интервала I g(), а через x e f - полуширина интервала I f(
рис.6.3: Поведение систематических ошибок  stat( t),  stat( t) и b stat( t) для области неба А в Альмагесте
рис.6.4: Поведение систематических ошибок  stat( t),  stat( t) и b stat( t) для области неба В в Альмагесте
рис.6.5: Поведение систематических ошибок  stat( t),  stat( t) и b stat( t) для области неба C в Альмагесте
рис.6.6: Поведение систематических ошибок  stat( t),  stat( t) и b stat( t) для области неба D в Альмагесте
рис.6.7: Поведение систематических ошибок  stat( t),  stat( t) и b stat( t) для области неба М в Альмагесте
рис.6.8: Поведение систематических ошибок  stat( t),  stat( t) и b stat( t) для области неба ZodA в Альмагесте
рис.6.9: Поведение систематических ошибок  stat( t),  stat( t) и b stat( t) для области неба ZodB в Альмагесте
.
Цифры, приведенные в табл.6.2 и табл.6.3, позволяют сделать следующие выводы. Наиболее точно измерены в Альмагесте звезды из области неба ZodA. Это видно из того, что компенсация обнаруженной систематической ошибки для этой группы звезд позволила снизить среднеквадратичную ошибку до 12, 8. При этом оказалось, что около 64% звезд получили после компенсации широтную невязку менее 10.
.
Следующей по точности группой звезд в Альмагесте является область A. Там среднеквадратичная широтная невязка снизилась после устранения систематической ошибки до 16, 5. При этом число звезд, имеющих широтную невязку меньше 10, возросло в этой области более чем до 50%.
.
Доверительные интервалы I f() и I g() для областей неба ZodA и A оказались близки по размерам. См. табл.6.3. Хотя точность измерений в области неба ZodA выше, чем в области A. Это объясняется разным числом звезд в этих областях. Размер доверительного интервала тем больше, чем меньше звезд. И тем меньше, чем выше точность измерений.
.
Данные табл.6.2 ПОДТВЕРЖДАЮТ ПРЕТЕНЗИИ СОСТАВИТЕЛЯ КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА НА ТОЧНОСТЬ В 10. По крайней мере - для широт звезд.
.
Следующими по точности измерений оказываются группы звезд Альмагеста в частях неба B и ZodB. Их точностные характеристики весьма близки. Остаточная среднеквадратичная ошибка равняется приблизительно 19. Звезды с широтной невязкой меньше 10составляют около 44% в этих группах. Положения полюса эклиптики, определяемые по этим частям неба в Альмагесте хотя "на глаз"и близки к положениям полюса для A и ZodA, но попадают в соотвествующие доверительные полосы лишь при достаточно малых значениях  ≈ 0, 01. Это означает, что систематические ошибки в областях неба B и ZodB могут отличаться от ошибок в областях неба A и ZodA. Кроме того, в частях неба A и ZodA звезды измерены существенно точнее, чем в областях неба B и ZodB. Ниже мы приведем дополнительные аргументы, подтверждающие это обстоятельство.
.
Звезды в областях неба C,D, М измерены в Альмагесте хуже, чем в частях неба A и B. Более того, в этих областях значения оценок  stat и  stat попадают в доверительные интервалы для  stat и  stat по областям неба A,ZodA,B и ZodB лишь при достаточно малых . Это означает, что мы обязаны допустить в C,D, М наличие таких систематических ошибок Альмагеста, которые отличаются от систематической ошибки в областях A,ZodA,B и ZodB.
.
При анализе табл.6.2 и табл.6.3 уже возникал вопрос о том, какое изменение среднеквадратичной ошибки следует считать большим, а какое - малым. Для решения этого вопроса воспользуемся анализом чувствительности, проведенным в главе 5. Схема решения иллюстрируется на рис.6.10.
http://s9.uploads.ru/EUf9X.jpg
На координатной плоскости (,) изобразим эллипсоидальные линии уровней функции 2(,,t), см. формулу (5.3.9). На этой же плоскости изобразим прямоугольник R(), имеющий координатные проекции I g() и I f(). На рис.6.10 это - заштрихованный прямоугольник. Тогда вероятность того, что истинное значение систематической ошибки (,) лежит в этом прямоугольнике, не меньше, чем 1 - 2. Найдем  max2() = max 2(,,t), где максим ум берется по всем парам (,) ∈ R(). Найденная величина  max() определяет допустимую, - с уровнем доверия 1 - 2, - среднеквадратичную широтную невязку. А разность  max() -- min определяет допустимое увеличение среднеквадратичной невязки из-за неточности оценивания параметров  и   значениями  stat и  stat.
..
В табл.6.4 для областей неба A и ZodA приведены величины a11,a12,a22 на момент t = 18, определяющие линии уровня среднеквадратичных ошибок. Линии уровня определяются формулой (5.3), в которой  надо измерять в дуговых минутах, а  - в градусах. В таблице приведены также величины Δ =  max() -  min, рассчитанные для "крайних"значений  = 0, 1 и  = 0, 005. Отметим, что полученные величины, оказывается, мало меняются со временем. Эти цифры показывают уверенное разделение по точности областей неба A и ZodA, с одной стороны, и областей неба B и ZodB - с другой. В самом деле, даже при уровне доверия 1 - 2 = 0, 99 среднеквадратичная ошибка в доверительной области, построенной для области ZodA, не достигает минимального значения ошибки, полученного для областей неба B и ZodB.
.
Аналогичное утверждение верно и для части неба A. Хотя  max A для области неба A и больше  minВ, но это превышение происходит лишь при  ≤ 0, 01. При остальных значениях уровни ошибок в областях неба A и B следует считать существенно различными. То есть, разделяемыми статистическим критерием. Отметим здесь же, что точно такие же звезды из группы ZodA, уверенно отличаются по точности от звезд из области неба A, так как при ВСЕХ рассмотренных значениях  величина   max, найденная для Zod A, является меньшей, чем   min, полученная для части неба A.
.
Далее, табл.6.3 показывает, что параметр  stat определяется недостаточно устойчиво, особенно для "плохих"в Альмагесте областей неба C,D,M. Об этом говорят размеры доверительных интервалов I f(). Так, для области C полная ширина этого интервала превышает 180 градусов!

79

6.3 Анализ отдельных созвездий Альмагеста
.
6.3.1 Составитель Альмагеста мог делать для каждой малой группы созвездий свою ошибку

.

Дальнейший анализ порожден следующей проблемой. Параметры   stat и  stat, определяющие систематическую ошибку, были найдены по некоторой большой совокупности звезд. Они соответствуют такому повороту эклиптики, который минимизирует среднеквадратичную невязку звезд из этой совокупности. Однако нельзя априори исключать вариант, состоящий в том, что составитель делал для каждой малой совокупности звезд, например для созвездий, свою групповую ошибку. В этом случае параметры  stat и  stat представляют собой лишь некоторые усредненные значения истинных групповых ошибок и будут нам мало полезны.
.
Обратим внимание, что размеры доверительных интервалов для величин  stat, найденные в разделе 2, весьма велики. Это может объясняться как нечувствительностью широтных невязок к углу поворота  , так и "несистематичностью"ошибки  stat. Иначе говоря, вероятен случай, что параметры   stat и  stat могут иметь различную природу. То есть,  stat является результатом ошибки, совершенной наблюдателем относительно ВСЕХ звезд - ошибка в положении эклиптики. А  stat - это результат наложения и усреднения индивидуальных ошибок. Такая разница в поведении параметров легко объяснима, если рассмотреть, например, основной астрономический прибор тех времен - армиллярную сферу. См. главу 1. В этом измерительном приборе УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ ЭКВАТОРА И ЭКЛИПТИКИ ФИКСИРУЕТСЯ РАЗ И НАВСЕГДА. ЕСЛИ ПРИ ЭТОМ БЫЛА ДОПУЩЕНА ОШИБКА, ТО ОНА ДОЛЖНА ПРИСУТСТВОВАТЬ В КООРДИНАТАХ ВСЕХ ЗВЕЗД, КОТОРЫЕ БЫЛИ ИЗМЕРЕНЫ С ПОМОЩЬЮ ДАННОЙ АРМИЛЛЯРНОЙ СФЕРЫ. Ошибка же в угле  имеет другую природу. Она индивидуальна для каждой звезды и меняется при переходе от измерения координат одной звезды к другой.
.
Поэтому стоит определить групповые ошибки для отдельных созвездий Альмагеста и сравнить их с систематической ошибкой наиболее хорошо измеренной совокупности звезд ZodA.
6.3.2 Вычисление систематических ошибок для отдельных групп созвездий в Альмагесте
.

В этом разделе исследуется 21 малая совокупность звезд Альмагеста. Их перечень содержится в табл.6.5, структура которой полностью аналогична структуре табл.6.1. Дополнительно укажем лишь на принцип отбора малых звездных конфигураций. Это все зодиакальные созвездия Альмагеста, а также окружения именных звезд. Не рассматривались лишь окружения звезд Канопус и Превиндемиатрикс, - по причинам, указанным выше, - а также звезды Процион, из-за исключительной малочисленности звезд его окружения.
.
Нахождение ГРУППОВЫХ ОШИБОК для отдельных созвездий Альмагеста связано со следующими трудностями. Рассмотрим какую-либо группу звезд G и найдем для нее методом наименьших квадратов значения  stat G и  stat G. При этом определится минимально возможная остаточная среднеквадратичная широтная невязка  min G. А также - доля звезд p min G, по отношению к моменту времени t = 18, имеющих остаточную широтную невязку менее 10. Однако ввиду МАЛОЧИСЛЕННОСТИ отдельных групп звезд, статистическая погрешность оценок  stat G и  stat G слишком велика, чтобы делать на основе полученных данных какие-либо достоверные заключения. Поэтому мы найдем, кроме того, значения 1 G и p 1 G, - по отношению к моменту времени t = 18, - которые равны среднеквадратичной широтной невязке и доле звезд, имеющих широтную невязку не более 10. При условии, что полюс эклиптики совпадает с полюсом, определенным для наиболее хорошо измеренной совокупности звезд области ZodA. То есть, при том условии, что групповые ошибки равны величинам  stat ZodA и  stat ZodA.
.
Если величина 1 G превышает минимально возможное значение  min G незначительно, то мы вправе считать, что групповая ошибка в совокупности звезд G совпадает с систематической ошибкой в области неба ZodA. Разность величин p1 G и p min G представляет собой еще один критерий близости групповой и систематической ошибок. Напомним, что величины  min G и  1 G не зависят от времени для неподвижной совокупности звезд и слабо зависят от него для подвижных звезд. Аналогичное утверждение верно и для количества звезд, попадающих в 10-минутный интервал для широтной невязки.
http://s8.uploads.ru/QzLYW.jpg
рис.6.11: Зависимости  min,1, init,p min,p1,p init для зодиакальных созвездий
http://s9.uploads.ru/e4B8r.jpg
рис.6.12: Зависимости  min,1, init,p min,p1,p init для окружений именных звезд
.

Табл.6.6 содержит вычисленные нами числовые данные. Наглядно они представлены на рис.6.11 и рис.6.12. Рис.6.11 содержит информацию о величинах  min G и  1 G, а также о p min G и p 1 G для всех зодиакальных созвездий Альмагеста. Они обозначены здесь Z1,...,Z12. На рис.6.12 представлены соответствующие результаты для окружений именных звезд Альмагеста. Они обозначены здесь S1,...,S9. Следует сказать, что для именных звезд Альмагеста, которые являются зодиакальными, их окружение не совпадает полностью с соответствующим созвездием Зодиака. Это окружение представляет собой группу звезд этого созвездия, получивших название в системе Байера. Совокупность таких звезд составляют сравнительно более яркие и, как правило, надежно отождествляемые в Альмагесте звезды. Это обстоятельство повышает надежность выводов.
.
6.3.3 Групповые ошибки по созвездиям из хорошо измеренной области неба в Альмагесте практически совпадают с систематической ошибкой, обнаруженной для этой области в целом
.
Из приведенных графиков и табл.6.6 следует, что зодиакальные созвездия из части неба ZodA, - а именно, Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, - обладают в Альмагесте следующим замечательным свойством. Среднеквадратичная ошибка 1 и доля звезд с широтной невязкой не более 10, полученные в предположении, что групповая ошибка равна ( stat ZodA, stat ZodA), НЕЗНАЧИТЕЛЬНО ОТЛИЧАЮТСЯ от величин  min и p min, получаемых при оптимальном для рассматриваемого созвездия положении полюса эклиптики. Наибольшее отличие отмечено в "наиболее благополучном"созвездии Весов, где все величины  init, min и 1 не превосходят 10, а p init = p min = p1 = 83, 3% . Такова доля звезд, имеющих широтную невязку не более 10. Равенство p init = p1 = p min объясняется просто. Данное созвездие лежит почти на оси равноденствия и поворот  практически не оказывает на него влияния.
.
Однако и для созвездий из части неба ZodB в Альмагесте сделанный вывод также может быть принят. Хотя и с бДольшими оговорками. Впрочем, далее для нас справедливость или несправедливость этого вывода значения иметь не будет, так как в части ZodB НЕТ НИ ОДНОЙ ИМЕННОЙ ЗВЕЗДЫ. Тем не менее, отметим один занятный факт, выявленный для созвездия Овна. Хотя после компенсации обнаруженной систематической ошибки, величина 1 понизилась по сравнению с  init несущественно (заметим, что и  min отличается от  init ненамного), но p1 ≫ p init = p min. То есть, помещение полюса эклиптики в найденную для ZodA точку позволило резко, до 72,7%, повысить долю хорошо измеренных в Альмагесте звезд в созвездии Овна.
.
Общий вывод, который вытекает из рассмотрения всех зодиакальных созвездий, следующий. Если для оптимальной величины min выполнено соотношение  min ≪   init, то предположение о том, что групповая ошибка равна систематической, для области неба ZodA, и последующая компенсация этой ошибки ведет к соотношению  1 ≪   init. При этом справедливы также соотношения p1 ≫ p init, p min ≫ p init. Подобным свойством обладают в Альмагесте созвездия Близнецов, Рака, Льва, Девы, Скорпиона, Козерога, Водолея.
.
Если величина  min близка к  init, то, как правило,  min ≤  1 ≤   init и эффект от помещения полюса эклиптики в точку, соответствующую части неба ZodA, мало заметен. Этим свойством обладают в Альмагесте созвездия Овна (как мы отмечали, для него резко повысилась доля хорошо измеренных звезд), Тельца, Весов, Стрельца, Рыб. Среди отмеченных созвездий хорошие точностные свойства Весов, из части неба ZodA, практически не меняются при перемещении полюса эклиптики из оптимальной для него точки в точку, соответствующую области ZodA. Точностные свойства Овна в Альмагесте при этом даже улучшаются. А свойства остальных созвездий - не меняются, оставаясь средними по качеству. Типичным примером является Телец, для которого  init = 23, 2, min = 18, 1,1 = 20, 6,p init = 27, 6%, p min = p1 = 41, 4%. Из всех созвездий Альмагеста несколько выделяются Рыбы. Для них и p min < p init, и p1 < p init при том, что  init ≈   min ≈  1.

80

6.3.4 >Как влияет компенсация обнаруженной систематической ошибки на точностные свойства окружений именных звезд
.

Картина с окружениями именных звезд в Альмагесте более разнообразна. Прежде всего отметим окружения АКВИЛЫ и СИРИУСА. В обоих этих случаях компенсация обнаруженной систематической ошибки, характерной для области неба ZodA, приводит к следующему. Во-первых, - к повышению среднеквадратичной широтной невязки. В случае Сириуса - к существенному, с 15, 2 до 25, 9. Во-вторых, к резкому уменьшению доли хорошо измеренных звезд. Для Аквилы - с 40% до 13,3%, а для Сириуса - с 47,4% до 15,8%. Это говорит о том, что групповая ошибка, совершенная составителем при измерении окружений Аквилы и Сириуса, существенно иная, чем систематическая ошибка для области неба ZodA. К сожалению, достоверно определить эти ошибки не представляется возможным. Поэтому СИРИУС И АКВИЛА ИЗ ДАЛЬНЕЙШЕГО РАССМОТРЕНИЯ БЫЛИ ИСКЛЮЧЕНЫ.
.
Окружения остальных именных звезд в общем обладают теми же свойствами, что и зодиакальные созвездия. А именно, звезды из окружений АНТАРЕСА, АСЕЛЛИ, АРКТУРА, СПИКИ, РЕГУЛА существенно уменьшают среднеквадратичную ошибку, - до значений, близких к минимально возможным, - при компенсации групповой ошибки, равной систематической для области ZodA. При этом и доля p1 звезд, получивших широтную невязку менее 10, существенно возрастает по сравнению с исходным значением p init. Окружение КАПЕЛЛЫ обладает свойством, аналогичным полученному для созвездия Овна. А именно, среднеквадратичная широтная невязка в этом окружении мало изменяется при перемещении полюса эклиптики из исходного положения в оптимальное и в положение, вычисленное для части неба ZodA. Зато в последнем из упомянутых положений резко, до 64,3%, возросла доля звезд в окружении Капеллы, "уложившихся"в 10-минутную широтную невязку. Для сравнения отметим, что в исходном положении эта доля составляла 35,7%. А в оптимальном, по среднеквадратичной широтной невязке, - 14,3% ! Звезды из окружения ВЕГИ, напротив, получили заметное уменьшение среднеквадратичной широтной невязки. Но при перемещении полюса эклиптики в положение, характерное для области неба ZodA, произошло существенное уменьшение числа звезд с 10-минутной широтной невязкой. Таким образом, характер групповых ошибок для окружений Веги и Капеллы остается неопределенным. Это и неудивительно. Вспомним, что звезды эти находятся достаточно далеко от части неба ZodA.
.
6.3.5 Найдена единая систематическая ошибка, совершенная составителем Альмагеста в области ZodA, и для большинства именных звезд
.

Хотя для большей части рассматриваемых созвездий мы и обнаружили близость характеристик 1 и p1 соответственно к  min и p min, вопрос о "систематичности"ошибки  stat остался открытым. Для его решения поступим следующим образом. Рассмотрим какое-либо созвездие Альмагеста. Ограничимся лишь зодиакальными созвездиями, где лежат, впрочем, и 6 именных звезд. Найдем для этих созвездий характеристики 2 и p2, определяемые следующим образом. Первая характеристика - это остаточная среднеквадратичная невязка. Вторая - доля звезд из созвездия, имеющих широтную невязку не более 10. Обе характеристики получаются при статистической ошибке  stat ZodA, вычисленной для области ZodA, и оптимальной ошибке (2), находимой из условия минимизации ошибки  2. Иначе говоря, для созвездия G имеем
.
Составим табл.6.7, аналогичную табл.6.6. Более того, ряд данных в этих таблицах для наглядности повторяется. В табл.6.6 вместо величин 1 и p1 занесены 2 и p2. Изобразим эти данные также в виде рис.6.13, аналогичного рис.6.11. Как из таблицы, так и из рисунка видно, что компенсацией систематической ошибки  stat ZodA в зодиакальных созвездиях из области неба ZodA и вариацией величины  можно достичь минимально возможных значений 2, весьма близких к  min. Или даже равных  min. При этом и величина p2 будет близка к p min, или равна p min. Интересно, что такая же картина сохраняется и для созвездий из части неба ZodB.
http://s9.uploads.ru/Gn5eF.jpg
рис.6.13: Зависимости  min,2, init,p min,p2,p init для зодиакальных созвездий
.

Все это убедительно доказывает, что НАЙДЕННАЯ НАМИ ВЕЛИЧИНА  stat ZodA ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ЯВЛЯЕТСЯ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ОШИБКОЙ, СОВЕРШЕННОЙ СОСТАВИТЕЛЕМ КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ ЗВЕЗД ИЗ ОБЛАСТИ НЕБА ZodA, А ТАКЖЕ ИМЕННЫХ ЗВЕЗД. Кроме Сириуса, Аквилы и Канопуса. Величина же  stat ZodA может быть результатом усреднения отдельных ошибок измерений, и считать ее систематической ошибкой оснований нет. Кроме того, величина  stat определяется достаточно грубо и в этом плане малоинформативна.
.
6.4 Выводы
.

ВЫВОД 1. Статистически подтверждено, что полюса эклиптики звезд из областей неба A и ZodA в Альмагесте лежат в непосредственной близости друг от друга. То есть, систематическая ошибка, совершенная составителем каталога Альмагеста в этих частях неба, одна и та же.
.
ВЫВОД 2. Проведенный статистический анализ не дает оснований считать, что систематические ошибки каталога Альмагеста в областях неба C,D, М, В,ZodB совпадают с ошибками для областей неба A и ZodA. При этом систематические ошибки в частях неба C,D,M с высокой вероятностью отличаются от ошибок в областях неба A и ZodA. Про ошибки в частях неба B и ZodB в Альмагесте ничего определенного сказать нельзя, так как имеющийся числовой материал не позволяет сделать уверенный статистический вывод.
.
ВЫВОД 3. Точность измерения звезд из областей неба A и ZodA в Альмагесте существенно выше, чем для других областей неба.
.
ВЫВОД 4. Среднеквадратичная остаточная широтная невязка в области неба ZodA составляет в Альмагесте 12, 8. При этом около 2/3 всех звезд из этой части неба имеют широтную невязку менее 10. То есть, укладываются по широте в заявленную точность каталога Альмагеста в 10 минут. Соответствующие значения для области неба A равны 16, 5 и 1/2.
.
ВЫВОД 5. Рассмотрение зодиакальных созвездий и окружений именных звезд в "Алмьагесте"позволяет сделать вывод, что параметр , - ошибка в угле наклона эклиптики, - представляет собой систематическую ошибку. Параметр же  может представлять собой усредненное значение групповых или индивидуальных ошибок.
.
ВЫВОД 6. Групповая ошибка  в созвездиях Близнецов, Рака, Льва, Девы, Весов, Скорпиона, Стрельца, Козерога, окружениях Антареса, Аселли, Арктура, Спики, Регула близка в Альмагесте к систематической ошибке   stat ZodA, характерной для наиболее точно измеренной части неба ZodA. Или даже совпадает с ней.
.
ВЫВОД 7. О значении групповых ошибок в Альмагесте в созвездиях Овна и Тельца сказать ничего определенного нельзя. Они могут как совпадать с ошибками в области неба ZodA, так и отличаться от них. Ошибки в окружениях звезд Капеллы и Веги также не могут быть определены.
.
ВЫВОД 8. Групповые ошибки в Альмагесте в окружениях Сириуса и Аквилы отличаются от ошибки, характерной для части неба ZodA. Но найти эти ошибки невозможно. Групповая ошибка для созвездия Рыб, по всей вероятности, также отличается от  stat ZodA.

81

Глава 7
ДАТИРОВКА ЗВЕЗДНОГО КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА. СТАТИСТИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОДЫ
7.1 Информативное ядро каталога - это хорошо измеренные именные звезды

.

Анализ звездного каталога Альмагеста, приведенный в главах 2 - 6, имел своей целью уменьшить широтные ошибки звезд путем компенсации обнаруженной в каталоге систематической ошибки.
.
В итоге мы подтвердили, что претензия составителя Альмагеста на то, что заявленная им точность измерений равняется 10, СПРАВЕДЛИВА по крайней мере в отношении ШИРОТ БОЛЬШИНСТВА ЗВЕЗД ИЗ ЧАСТИ НЕБА А. Это обстоятельство представляется нам достаточно важным.
.
Однако датировать каталог Альмагеста можно лишь путем рассмотрения достаточно быстрых и заведомо точно измеряемых звезд. Иначе говоря, для целей датировки нужно иметь оценки индивидуальных ошибок. Полученные нами статистические характеристики не дают никакой информации о том, какие именно звезды измерены точно.
.
Выбор таких звезд может быть основан лишь на правдоподобных рассуждениях, опирающиеся на известные практические приемы измерения координат звезд в древности. См. главу 1. Известно, что в средние века, да и в настоящее время, базисом для измерения координат большинства звезд служат так называемые ОПОРНЫЕ ЗВЕЗДЫ, число которых малДо по сравнению с числом звезд каталога. >
.
К сожалению, набора опорных звезд Альмагеста мы не знаем. Известно лишь, что в их число должны входить Регул и Спика. Поскольку измерению их координат посвящены СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ Альмагеста. Однако естественно предположить, что особенно тщательно составитель каталога должен был измерять ИМЕННЫЕ ЗВЕЗДЫ. Таких звезд, как уже говорилось, в Альмагесте двенадцать: АРКТУР, РЕГУЛ, СПИКА, ПРЕВИНДЕМИАТРИКС, КАПЕЛЛА, ЛИРА = ВЕГА, ПРОЦИОН, СИРИУС, АНТАРЕС, АКВИЛА = АЛЬТАИР, АСЕЛЛИ, КАНОПУС.
.
В работе [234] исследован вопрос о том, какие звезды были опорными для Птолемея при наблюдении планет. Оказывается, что это следующие звезды. Сам Птолемей упоминает их как опорные звезды на эклиптике. Таких звезд четыре: Альдебаран =  Tau, Регул, Спика и Антарес. Три из них - именные в Альмагесте. А именно, Регул, Спика, Антарес. По-видимому для наблюдения за планетами Птолемею пришлось добавить к ним и Альдебаран. Все эти четыре звезды, кстати, входят в нашу табл.4.3.
.
Двенадцать именных звезд Альмагеста - ЯРКИЕ. Они хорошо выделяются среди своих окружений и ОБРАЗУЮТ НА ЗВЕЗДНОЙ СФЕРЕ УДОБНЫЙ БАЗИС. Для нас важно, что среди этих звезд довольно большая часть обладает ЗАМЕТНЫМ СОБСТВЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ. А некоторые - АРКТУР, ПРОЦИОН, СИРИУС - имеют весьма высокую скорость собственного движения.
.
Семь именных звезд Альмагеста лежат либо в области неба ZodA, либо в непосредственной близости от нее. Это - АРКТУР, СПИКА, ПРОЦИОН, АСЕЛЛИ, ПРЕВИНДЕМИАТРИКС, РЕГУЛ, АНТАРЕС. Девять именных звезд окаймляют область неба A. А именно, к перечисленным семи звездам Альмагеста следует добавить ЛИРУ = ВЕГУ и КАПЕЛЛУ. Таким образом, если даже эти 12 звезд и не являлись опорными, то они должны были измеряться особенно тщательно.
.
Однако, несмотря на тщательность измерения их координат, звезды эти неравноправны. Наш анализ показал следующее.
.
1) КАНОПУС является ОЧЕНЬ ЮЖНОЙ ЗВЕЗДОЙ и на результат измерения его координат большое влияние оказывает рефракция. Поэтому, несмотря на тщательность измерения, его координаты в каталоге заведомо содержат большую ошибку, более 1 градуса.
.
2) Координаты ПРЕВИНДЕМИАТРИКСА, измеренные составителем Альмагеста, нам неизвестны. Известны лишь результаты более поздних измерений [92].
.
3) Групповые ошибки в окружениях СИРИУСА и АКВИЛЫ не совпадают с ошибками, найденными нами в главе 6 для остальных звезд. Значение этих ошибок мы определить не в состоянии, поэтому и скомпенсировать их невозможно. Следовательно, найти истинные погрешности измерения этих звезд также невозможно.
.
Таким образом, для целей датировки каталога Альмагеста у нас остается 8 именных звезд, окружения которых обладают единой групповой ошибкой. Во всяком случае, едина ее составляющая . Назовем эти именные звезды ИНФОРМАТИВНЫМ ЯДРОМ звездного каталога.
.
Естественно выдвинуть следующую гипотезу. ЕСЛИ ЗАЯВЛЕННАЯ СОСТАВИТЕЛЕМ ТОЧНОСТЬ КАТАЛОГА ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ПОДТВЕРЖДЕНА, ТО ОНА ДОЛЖНА ГАРАНТИРОВАННО ДОСТИГАТЬСЯ НА ИНФОРМАТИВНОМ ЯДРЕ КАТАЛОГА, после устранения групповой ошибки.
.
Эта гипотеза и будет положена нами в основу метода датировки звездных каталогов.
.
В то же время совершенно не очевидно, можно ли с помощью информативного ядра получить датировку звездного каталога. Несмотря на то, что нам удалось восстановить истинные значения случайных ошибок каталога Альмагеста путем компенсации групповых ошибок, непонятно, - достаточно ли мала остаточная ошибка для вычисления искомой даты. Кроме того, хотя мы и доказали идентичность групповых ошибок в окружениях звезд, входящих в информативное ядро каталога, но отсюда, вообще говоря, не следует, что и для конкретных звезд из ядра каталога индивидуальная ошибка такова же. Конечно, возможность такого рассогласования выглядит неестественной. Центральная звезда окружения, по-видимому, должна иметь тот же характер ошибки, что и ее ближайшее окружение. Однако, строго говоря, гипотеза о подобном рассогласовании имеет право на существование. Не следует также исключать и возможности неточного определения, с погрешностью более 10, координат звезды из информативного ядра каталога.
.
Все это говорит о том, что если все же будет найден момент времени, в который выполнена выдвинутая нами гипотеза, то это будет служить дополнительным доказательством истинности предпосылок, полученных статистическим путем.
.
Итак, информативное ядро Альмагеста, состоящее из 12 звезд, таково: АРКТУР, РЕГУЛ, СПИКА, ПРЕВИНДЕМИАТРИКС, КАПЕЛЛА, ЛИРА = ВЕГА, ПРОЦИОН, СИРИУС, АНТАРЕС, АКВИЛА = АЛЬТАИР, АСЕЛЛИ, КАНОПУС.
7.2 Предварительные соображения о датировке каталога Альмагеста по изменению координат именных звезд
.
В разделе 1 была выделена группа звезд, которую мы назвали информативным ядром Альмагеста. Ее поведение будет подробно рассматриваться далее. Здесь же мы проанализируем поведение совокупности всех 12 именных звезд Альмагеста. Это предварительное изучение, во-первых, наглядно показывает, насколько улучшаются точностные свойства каталога Альмагеста после компенсации в нем систематической ошибки. Во-вторых, дает дополнительное обоснование того факта, что 3 именных звезды из 12, - а именно, Канопус, Сириус и Аквила = Альтаир, - нарушают однородность всей выборки. Выясняется, что по отношению к остальным именным звездам эти три звезды являются "выбросами". Ниже при исследовании всей совокупности 12 именных звезд Альмагеста мы используем координаты Превиндемиатрикс из [92], вычисленные, по-видимому, Галлеем. Обозначим через Bi(t,,) разность между широтой i-й звезды информативного ядра Альмагеста после компенсации систематической ошибки (,) и ее истинной широтой, рассчитанной на эпоху t.
.
СООБРАЖЕНИЕ 1. Посмотрим, как соотносится точность широт именных звезд каталога Альмагеста с ценой деления шкалы этого каталога (а именно, 10) в предположении, что глобальных систематических ошибок каталог не содержит. Табл.7.1 содержит величины абсолютных широтных невязок всех 12 именных звезд Альмагеста в зависимости от априорной датировки t. В первом столбце после имени звезды указан в скобках ее номер в Альмагесте, то есть номер Байли. Величины широтных невязок даны в дуговых минутах.
.
Из табл.7.1 видно, что для 7 из 12 именных звезд Альмагеста широтная невязка при всех возможных значениях датировки t превышает границу 10. В столбцах, соответствующих скалигеровской датировке Альмагеста 100 годом н.э. (якобы эпоха Птолемея) и 200 годом до н.э. (якобы эпоха Гиппарха), обращает на себя внимание прежде всего то, что ошибка в координате Арктура исключительно велика, а именно 30--40. Удивительно, что самую заметную и самую яркую звезду северного полушария неба Птолемей (или Гиппарх) наблюдал якобы СУЩЕСТВЕННО ХУЖЕ всех остальных звезд. Далее, из текста Альмагеста следует, что координаты звезды Регул измерялись при составлении каталога несколько раз и что ЭТА ЗВЕЗДА ЗАВЕДОМО ЯВЛЯЛАСЬ ОДНОЙ ИЗ ОПОРНЫХ ТОЧЕК для измерения координат всех остальных звезд каталога. Естественно ожидать, что координаты этой звезды были измерены Птолемеем с максимально возможной точностью и поэтому широтная невязка для нее должна быть меньше 10. Заметим, что для другой яркой звезды на эклиптике, а именно, для Спики, - координаты которой Птолемей также измерял отдельно на первоначальном этапе, а затем использовал ее как опорную (см. главу VII.2 Альмагеста [94]), - широтная невязка не превосходит 5. То есть не превосходит половины цены деления шкалы каталога.
.
УЧТЕМ ТЕПЕРЬ СИСТЕМАТИЧЕСКУЮ ОШИБКУ, найденную нами в Альмагесте. См. главу 6. Поскольку составляющая  этой ошибки меняется слабо при изменении даты t от начала нашей эры до средних веков, а к изменению   картина мало чувствительна, то мы возьмем значения 0 = 21,0 = 0. Значение 0 = 21 является средним значением (t) для t из априорного интервала.
.
Построим табл.7.2, аналогичную табл.7.1, с той лишь разницей, что при вычислении широтных невязок теперь учитывается и компенсируется систематическая ошибка в координатах всех звезд, которая задается параметрами 0 = 21 и 0 = 0.
.
Сравнение табл.7.2 с табл.7.1 показывает, что точностные свойства координат именных звезд Альмагеста после компенсации систематической ошибки РЕЗКО УЛУЧШИЛИСЬ сразу при всех возможных датировках. Широты Регула и Спики оказываются измеренными с точностью до 5 при любой априорной датировке от начала нашей эры до позднего средневековья. Это вполне соответствует тому вниманию, которое уделено этим двум звездам в тексте Альмагеста. См. Альмагест, главу VII.2 [94]. Более того, при датировке в интервале 6  t  10, - то есть от 900 года н.э. до 1300 года н.э., - невязка по широте для 8 из 12 именных звезд не превосходит 10 - цены деления шкалы каталога. Это как раз те звезды, которые входят в часть A неба, обнаруженную нами в главе 6 при статистическом анализе всей совокупности звезд каталога Альмагеста.
.
Естественно, приведенные рассуждения требуют уточнения. В частности, необходимо исследовать и другие значения параметров  и  . Подробные расчеты и более точные утверждения содержатся ниже в этой главе.
.
СООБРАЖЕНИЕ 2. Дополнительную информацию о дате составления каталога Альмагеста могут дать следующие соображения. Рассмотрим для каждого момента t и для всех значений  и  совокупность широтных невязок Bi(t,,) некоторого множества E звезд Альмагеста, 1  i  n. Построим на этой совокупности эмпирические функции распределения ошибки в широте звезд множества E: Ft,,f(x) = (1/n) #{i: ∣Bi(t,,)∣ x}, где n - число звезд в множестве E. Сравнивая эти функции распределения между собой при различных значениях t,,, можно попытаться подобрать такой набор значений этих параметров, при котором ошибки в широте звезд из совокупности E будут наименьшими, в стохастическом смысле. В качестве меры различия ошибок при различных t,, возьмем среднее значение их разностей.
.
Эта мера различия может быть наглядно представлена как площадь, заключенная между графиками функций распределения Ft1,1,f1(x) и Ft2,2,f2(x), изображенными на одном чертеже. При этом площадь каждой из областей, заключенных между этими графиками, надо брать с соответствующим знаком, зависящим от того, какая из двух функций ограничивает данную область справа, а какая - слева, рис.7.1. Та функция распределения Ft0,0,f0, которая находится, в среднем, левее остальных функций Ft,,f, отвечает наименьшим ошибкам в широте звезд множества E. Дату t0 и значение систематической ошибки (0,  0) в этом случае естественно рассматривать как приближения для истинной даты наблюдений и реальной систематической ошибки, сделанной наблюдателем.
.
рис.7.1: Эмпирические функции распределения ошибок в широтах звезд
.

Проиллюстрируем сказанное на примере другого известного звездного каталога второй половины XVI века - каталога Тихо Браге. Рассмотрим в качестве информативного ядра, множества E, набор из 13 именных звезд в каталоге Тихо Браге. Мы вычислили эмпирические функции распределения Ft,,f при  =  = 0 и трех различных значениях t: t = 3 - то есть для 1600 года н.э., t = 3, 5 - то есть для 1550 года н.э., и t = 4 - то есть для 1500 года н.э. Результат приведен на рис.7.2. Из этого рисунка хорошо видно, что без учета возможной систематической ошибки в каталоге Тихо Браге ( =  = 0) оптимальной датировкой каталога является эпоха t = 3, 5, то есть примерно 1550 год н.э. В самом деле, именно при такой датировке каталога, ошибки в широте выбранных 13 именных звезд будут наименьшими, в указанном выше смысле. Дата 1550 год действительно близка к известному времени составления каталога Тихо Браге, а именно, вторая половина XVI века.
http://s8.uploads.ru/spHhb.jpg
рис.7.2: Эмпирические функции распределения для каталога Тихо Браге; оптимальное значение t0 = 3, 5
.

Приведем список этих 13 звезд из каталога Тихо Браге. В первую очередь, это РЕГУЛ, СПИКА, АРКТУР, ПРОЦИОН, СИРИУС, ЛИРА = ВЕГА, КАПЕЛЛА, АКВИЛА и АНТАРЕС, являющиеся именными звездами также и в Альмагесте. Кроме того, имеются еще четыре звезды: КАФ = b Cas, ДЕНЕБОЛА = b Leo, ПОЛЛУКС = b Gem и ШИАТ = b Peg.

82

Рассмотрим теперь эмпирические функции распределения Ft,,f для множества звезд E, состоящего из 12 именных звезд Альмагеста. См. раздел 1. На рис.7.3 приведены графики этих функций для t = 5 - то есть для 1400 года н.э., t = 10 - то есть для 900 года н.э., t = 18 - то есть для 100 года н.э. и t = 20 - то есть для 100 года до н.э., при различных . Значение  везде взято равным нулю, поскольку к изменению  картина мало чувствительна. Значения t = 10, то есть 900 год н.э., и  = 21 являются оптимальными. То есть, приводят к наименьшим ошибкам.
http://s8.uploads.ru/m3aMq.jpg
рис.73: Эмпирические функции распределения Ft,,f для 12 именных звезд Альмагеста. Значение  всюду равно нулю
.

Полученная картина поведения графиков Ft,,f для Альмагеста мало чувствительна к изменениям в составе именных звезд. Приведем для сравнения эмпирические функции распределения для использованных в примере с каталогом Тихо Браге 13 звезд, взяв на этот раз их координаты из Альмагеста, рис.7.4. Значения t = 10, = 21 остаются оптимальными и для этого списка звезд. На рис.7.4 отчетливо проявляется разница между значениями  = 21 и  = 0, уже отмеченная выше. А именно, вся совокупность графиков, соответствующих значению  = 21, лежит левее, - и, следовательно, отвечает меньшим ошибкам, - чем совокупность графиков при  = 0. Другими словами, значение   = 21 "лучше", чем  = 0, при всех датах t из априорного интервала.
http://s8.uploads.ru/MHCrj.jpg
рис.7.4: Эмпирические функции распределения для Альмагеста по 13 ярким именным звездам при t = 1, 5, 10, 15, 20. Сплошные линии:  = 21; штриховые линии:  = 0
.
СООБРАЖЕНИЕ 3. В заключение обсудим вопрос о возможности расширения списка именных звезд Альмагеста, как основы для датировки по собственным движениям. Но так, чтобы точностные свойства координат (или хотя бы только широт) расширенного списка звезд не ухудшались. На первый взгляд представляется естественным взять в качестве такого расширения список ВСЕХ звезд, получивших К НАСТОЯЩЕМУ ВРЕМЕНИ собственные имена, табл.1.2. Имена звездам давали в основном в средние века, но продолжали делать это и в XVII - XIX веках. Не исключено, что многие из них имели особое значение для составителя каталога Альмагеста. Далее, мы выберем из списка в табл.1.2 не все звезды, а лишь те, имена которых набраны в [84] большими буквами. Мы сохранили это выделение большими буквами и в нашей табл.1.2. Большими буквами в [84] были набраны наиболее знаменитые из именных звезд. Таких звезд оказалось 37. Они перечислены в табл.7.3.

83

http://s9.uploads.ru/xNPA8.jpg
рис.7.5: Среднеквадратичное отклонение по 37 звездам Альмагеста, перечисленным в табл.7.3, как функция априорной датировки. При подсчете отклонения компенсировалась систематическая ошибка  каталога Альмагеста. Кроме того, искомое среднеквадратичное отклонение минимизировалось по вариациям  = stat  ± 5; b = 0 ± 30
.
Оказалось, однако, что такое расширение информативного ядра Альмагеста РЕЗКО УХУДШАЕТ ТОЧНОСТЬ координат выборки. И что особенно важно, ухудшается точность широт. Рассмотрим "расширенное ядро", состоящее из 37 звезд Альмагеста, перечисленных в табл.7.3. На рис.7.5 видно, как ведет себя среднеквадратичная невязка для этих 37 звезд в зависимости от априорной датировки Альмагеста. При подсчете этой невязки мы, для повышения надежности, допускали вариацию расчетной величины систематической ошибки по  в пределах ±5 с шагом в 1 минуту. По параметру b был сделан перебор в пределах ±30 с шагом в 1 минуту. Вычислялось минимальное значение среднеквадратичного отклонения по указанным вариациям параметров  и b. Из получившегося графика хорошо видно, что минимум хотя и достигается около 400 года н.э., но выражен ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО СЛАБО. Минимальное значение среднеквадратичной невязки составляет около 18 минут. Если мы допустим вариацию этого значения в пределах 2 минут, то есть всего на 10%, то получаем интервал "датировок"длиной в 1800 лет (!) от 600 года до н.э. до 1200 года н.э. Совершенно ясно, что этот результат неинтересен. Причина очевидна - в рассматриваемом списке 37 звезд средняя точность измерений Птолемеем слишком низка. Она явно недостаточна, чтобы можно было датировать каталог по собственным движениям в этой группе звезд. Причем, такая размытая картина получается при анализе широт, которые в каталоге Альмагеста, как мы знаем, более точны, чем долготы. По долготам картина получается еще более размытой.
http://s9.uploads.ru/y2Fn9.jpg
рис.7.6: По вертикальной оси - количество звезд из списка 37 звезд Альмагеста (см. табл.7.3), для которых отклонение по широте не превосходит 10 минут. Вдоль горизонтальной оси - априорная датировка каталога Альмагеста

84

http://s8.uploads.ru/k1jdX.jpg
рис.7.7: По вертикальной оси - количество звезд из списка 37 звезд Альмагеста (см. табл.7.3), для которых отклонение по широте не превосходит 20 минут. Вдоль горизонтальной оси - априорная датировка каталога Альмагеста
.
На рис.7.6, рис.7.7 приведены графики зависимости от априорной датировки Альмагеста количества звезд из "расширенного ядра", расчетная ошибка которых по широте не превышает, соответственно, 10 и 20 минут. Ошибка рассчитывалась после компенсации систематической ошибки  = 20. На обоих графиках наблюдаются колебания вокруг приблизительно постоянного значения на всем рассматриваемом интервале времени. В 10-минутную окрестность по широте в разные годы попадает от трех до тринадцати звезд. В 20-минутную окрестность попадает от 11 до 16 звезд. Никакой надежной информации о наиболее вероятной датировке каталога из этих графиков извлечь не удается.
http://s9.uploads.ru/gdiQJ.jpg
рис.7.8: Среднеквадратичное отклонение по 37 звездам Альмагеста, перечисленным в табл.7.3, и имеющим не более чем 30-минутное отклонение по широте при данной априорной датировке. График построен как функция априорной датировки Альмагеста. При подсчете отклонения компенсировалась систематическая ошибка  каталога Альмагеста. Кроме того, искомое среднеквадратичное отклонение минимизировалось по вариациям   = stat  ± 5; b = 0 ± 30
.
На рис.7.8 мы приводим график зависимости среднеквадратичной невязки, аналогичной графику на рис.7.5. Однако на этот раз при подсчете невязки учитывались лишь те звезды, которые при данной априорной датировке Альмагеста получили отклонение по широте менее 30 минут. Видно, что график состоит из кусков пологих парабол. Они имеют минимумы в разные годы на оси времени. Это означает, что в различных частях списка из 37 звезд соответствующие параболы имеют точки минимума, разбросанные по всему историческому интервалу. Обнаружившаяся неустойчивость точек минимума говорит о низкой точности датировки таким способом. Дело в том, что точки минимума многих парабол лежат далеко от истинной даты составления каталога. Поэтому при изменении состава звезд, эти минимумы хаотично распределяются по всему историческому интервалу.
.
В целом график на рис.7.8 имеет исключительно слабо выраженный минимум в районе 700 - 1600 годов н.э. Для надежной датировки он непригоден.
.
Мы рассматривали также и другие возможности расширения информативного ядра Альмагеста. Например, на основе яркости звезд. Почти все они привели к РЕЗКОМУ УХУДШЕНИЮ ТОЧНОСТИ координат звезд и к практическому исчезновению зависимости характеристик расширенной совокупности от датировки наблюдений. Однако выяснилось, что информативное ядро все-таки допускает естественное расширение без значительного падения точности. Этот вопрос подробно обсуждается ниже.

85

7.3 Статистическая процедура датировки
7.3.1 Описание процедуры датировки

.

Гипотеза об измерении именных звезд Альмагеста в пределах заявленной Птолемеем точности в 10 минут позволила нам в разделе 2 дать весьма приблизительный ответ, когда мог быть написан Альмагест. Было показано, что конфигурация информативного ядра каталога Альмагеста меняется с течением времени достаточно быстро для того, чтобы определить дату составления каталога. Поэтому осмысленной стала и постановка задачи об ОПРЕДЕЛЕНИИ ИНТЕРВАЛА ВОЗМОЖНОЙ ДАТИРОВКИ.
.
Естественной в рамках развиваемого подхода представляется следующая процедура, которую назовем СТАТИСТИЧЕСКОЙ. Она основана на гипотезе, что именные звезды Альмагеста были измерены с заявленной 10-минутной точностью по широте. Кроме того, мы будем опираться на найденные в главе 6 статистические характеристики групповых ошибок. Статистическая процедура датирования состоит в следующем.
.
А) Зафиксируем уровень доверия 1 - .
.
Б) Рассмотрим момент времени t и доверительный интервал I() для составляющей statZodA(t) групповой ошибки в области ZodA. Определим величину
Δ(t) =  min Δ(t,g, f),
(7.1)
http://s8.uploads.ru/PxqyF.gif
где минимум берется по всем  ∈ I() и всевозможным значениям . При этом величина
.
задает максимальную по всем звездам из информативного ядра невязку, рассчитанную для априорной датировки t. При этом параметры (,  ) задают "подкрутку небесной сферы", рис.3.14.
.
В) Если найденная величина (t) не превосходит заявленной точности каталога в 10, то момент времени t следует рассматривать как возможную дату составления каталога. В противном случае каталог не может датироваться эпохой t.
.
Естественно, результат применения данной процедуры датирования зависит от субъективного выбора уровня доверия 1 - . Поэтому ее следует проверить на устойчивость относительно вариаций . Это будет сделано ниже.
.
7.3.2 Зависимость минимаксной невязки  от t,, для Альмагеста
http://s9.uploads.ru/KE1ag.jpg
http://s8.uploads.ru/T8S1k.jpg

Для информативного ядра из 8 звезд Альмагеста мы изобразим графически зависимость минимаксной широтной невязки (t,,) от всех трех переменных. Эта зависимость показана в виде последовательности диаграмм на рис.7.9 и рис.7.10. Здесь каждая диаграмма соответствует некоторому фиксированному моменту времени t. Приводятся диаграммы для t = 1...18. Для других значений t соответствующие диаграммы оказываются пустыми, как в случае t = 1. Напомним, что значение t = 1 соответствует 1800 году н.э., а t = 18 - началу нашей эры. На диаграммах по горизонтальной оси отложены значения , а по вертикальной оси - значения  .
рис.7.9: Показана зависимость (t,,) при значениях времени t от 1, то есть от 1800 года н.э., до t = 18, то есть до 100 года н.э. Область с двойной штриховкой соответствует    10. Область с обычной штриховкой соответствует 10 <   15. Область, заполненная точками, соответствует 15 <   20. В остальной части рисунков  > 20. Жирной точкой отмечены параметры statZodA(t),   statZodA(t)
рис.7.10: Продолжение предыдущего рисунка
.
Двойной штриховкой на диаграммах выделена область, где (t,,)   10.
.
В заштрихованной области выполняется неравенство 10 < (t,,)   15.
.
В области, заполненной точками, выполняется неравенство 15 < (t,,)   20.
.
В остальной части рисунков выполняется неравенство (t,,) > 20. На всех рисунках жирная точка соответствует параметрам statZodA(t), statZodA(t).
.
Из приведенных диаграмм ясно видно, что "ПЯТНО"С ДВОЙНОЙ ШТРИХОВКОЙ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ МАКСИМАЛЬНОЙ ШИРОТНОЙ НЕВЯЗКЕ ВОСЬМИ ИМЕННЫХ ЗВЕЗД АЛЬМАГЕСТА, НЕ ПРЕВОСХОДЯЩЕЙ 10, СУЩЕСТВУЕТ ЛИШЬ ПРИ МОМЕНТАХ ВРЕМЕНИ 6  t  13. ТО ЕСТЬ В ИНТЕРВАЛЕ ОТ 600 ДО 1300 ГОДОВ Н.Э.
.
"Пятно"с простой штриховкой, соответствующее максимальной широтной невязке, не превышающей 15, существует лишь при 4  t  16. Максимальных размеров эти "пятна"достигают при 7  t  12. При t > 18 допустимая область изменения параметров, определяемая соответствующими доверительными интервалами, НЕ СОДЕРЖИТ НИ ОДНОЙ ТОЧКИ, где (t,,)   20. Это, в частности, относится и к скалигеровской эпохе Птолемея, и к скалигеровской эпохе Гиппарха. Более того, при попытке датировать каталог Альмагест эпохой 100 года н.э. и ранее, минимакс (t) широтной невязки БОЛЕЕ ЧЕМ В ДВА РАЗА ПРЕВЫШАЕТ ЗАЯВЛЕННУЮ ТОЧНОСТЬ каталога Альмагеста в 10 минут. Для априорных датировок ранее 100 года н.э. величина (t) превосходит даже среднеквадратичную остаточную ошибку звезд из частей А,ZodA, В,ZodB и близка к среднеквадратичной остаточной ошибке в Альмагесте для части неба М. То есть для неярких звезд Млечного Пути. Где наблюдения таких звезд, сливавшихся с богатым звездным фоном, были весьма затруднены и конечно должны были иметь сравнительно низкую точность. Совершенно недопустимую для ярких опорных изолированных звезд информативного ядра. Следовательно, датировки Альмагеста эпохой около 100 года н.э. и ранее придется безусловно отбросить. Как противоречащие каталогу Альмагеста.
.
Итак, рис.7.9 и рис.7.10 показывают, что в допустимой области по (,  ) ПРИНЦИПИАЛЬНО НЕЛЬЗЯ ДОБИТЬСЯ, чтобы широтная невязка у всех 8 звезд информативного ядра Альмагеста была менее 10 в эпоху ранее 600 года н.э. Если поднять допустимый уровень до 15, то этого уровня невязки нельзя достичь, датируя Альмагест ранее 300 года н.э.

86

7.3.3 Результат статистической датировки каталога Альмагеста
.
Для фиксированной эпохи t и для  = 10 определим область изменения St() параметра  следующим образом
(7.2)
http://s9.uploads.ru/51wGI.gif
Множество St() может быть и пустым. Рассмотрим при фиксированном t пересечение множества St() с доверительным интервалом I(), построенным вокруг значения statZodA(t). Если данное пересечение не пусто, то в соответствии со статистической процедурой датировки объявим момент времени t возможной эпохой составления каталога Альмагеста. Совокупность таких моментов t назовем ИНТЕРВАЛОМ ВОЗМОЖНЫХ ДАТИРОВОК каталога Альмагеста.
.
Результат расчетов St() для Альмагеста наглядно представлен на рис.7.11. Точками заполнено объединение множеств St() при  = 10. Объемлющий контур соответствует значению  = 15. Он нам понадобится позже.
.
Использованный здесь график функции statZodA(t) был вычислен в главе 6, рис.6.8. Величины доверительных интервалов I(), соответствующие различным , можно найти в табл.6.3. Из рис.7.11 следует, что при  = 0, 1,  = 0, 05, = 0, 01, = 0, 005 ИНТЕРВАЛ ВОЗМОЖНЫХ ДАТИРОВОК ОКАЗЫВАЕТСЯ ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ: 6  t  13.
.
Если перевести полученный нами результат датировки в обычные годы, то мы увидим, что ИНТЕРВАЛ ВОЗМОЖНЫХ ДАТИРОВОК КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА НАЧИНАЕТСЯ В 600 ГОДУ Н.Э., А ЗАКАНЧИВАЕТСЯ В 1300 ГОДУ Н.Э.
http://s9.uploads.ru/AHkOf.jpg
рис.7.11: Результат статистической процедуры датировки каталога Альмагеста по его восьми именным звездам
7.3.4 Обсуждение полученного результата
.

Длина получившегося интервала возможных датировок каталога Альмагеста составляет 700 лет: 1300 - 600=700. Сравнительно большая величина интервала датировок объясняется несколькими причинами.
.
Первая была уже названа. Она связана с низкой точностью каталога Альмагеста, даже если брать заявленную Птолемеем точность в 10 минут. Такая точность не позволяет датировать каталог в узком интервале времени. Дело в том, что даже наиболее быстрая из рассматриваемых 8 именных звезд (Арктур) изменяет свою широту на 10 приблизительно за 260 лет. Это большая величина. Для других звезд ядра она еще больше.
.
Вторая причина связана с тем, что в своих расчетах мы использовали доверительные интервалы лишь для составляющей групповой ошибки. При этом мы минимизировали величину (t,,) по ВСЕВОЗМОЖНЫМ значениям . См. формулы (7.3.1) и (7.3.2). Ясно, что этот подход приводит к расширению интервала датировок для каталога Альмагеста. В самом деле, если бы можно было считать  (так же, как и ) групповой ошибкой, то следовало бы параметр  выбирать из доверительного интервала. Это привело бы к увеличению величины min f(t,,), а потому - к сужению интервала возможных датировок. Однако, как было отмечено выше, мы не имеем достаточных оснований для того, чтобы считать  групповой ошибкой в рассмотренных нами совокупностях звезд Альмагеста.
7.4 Датировка каталога Альмагеста по расширенному информативному ядру
.

Вопрос о расширении информативного ядра каталога Альмагеста уже обсуждался выше в конце раздела 7.2. Было обнаружено, что путем бессистемного увеличения ядра за счет числа ярких и быстрых звезд получить содержательную датировку не удается. Мы уже понимаем, что это объясняется низкой средней точностью измерений Птолемея даже ярких звезд. Вопрос о том, по какому принципу можно расширить 8-звездное информативное ядро Альмагеста, не потеряв при этом точности широт, оставался пока нерешенным.
.
Нам удалось найти решение этой задачи. Задумаемся, как Птолемей измерял координаты звезд. В истории астрономии хорошо известно, что такие измерения производились путем привязки наблюдаемых объектов к ОПОРНЫМ, базисным ярким звездам. Координаты которых измерялись особо тщательно и составляли основу для всех последующих измерений. Какие звезды Птолемей брал за опорные, он прямо не пишет. Из текста Альмагеста можно извлечь, что такими базисными звездами являлись для него по крайней мере Регул, Спика, Антарес и, возможно, Альдебаран. См., например, [234], с.247. Три из них, а именно, Регул, Спика и Антарес, снабжены в Альмагесте собственными именами со словесной формулой "vocatur...", то есть "именуемая ...". См. выше. Мы высказали мысль, что именные звезды Альмагеста именно потому и получили собственные имена в Альмагесте, что служили базисом для наблюдений Птолемея. Эта мысль подтвердилась. Мы доказали, что в частях неба A,ZodA,B,ZodB именные звезды Альмагеста действительно имеют эталонную для Птолемея точность в 10 минут. По крайней мере для широт. Для долгот это не так, но, как уже отмечалось выше, долготы наблюдать сложнее, чем широты. Кроме того, точность долгот скорее всего была потеряна при пересчетах каталога Альмагеста с целью приведения его к другим эпохам. Поэтому долготы - не показатель точности, которой реально достигал Птолемей в своих измерениях. Таким показателем могут быть лишь широты.
.
Для остальных частей неба нам доказать этого не удалось, поскольку не удалось надежно определить величины систематических ошибок. Поэтому при поиске возможных расширений информативного ядра мы также ограничимся лишь звездами из частей неба A,ZodA,B,ZodB.
.
Зададимся вопросом, какие звезды, кроме опорных, то есть, так сказать, "звезд первого уровня", Птолемей должен был измерить тоже очень хорошо? Естественно те, которые находятся НЕДАЛЕКО ОТ ОПОРНЫХ. Хотя бы потому, что измерения Птолемея скорее всего делались "по цепочкам". Сначала измерялись координаты звезд, близких к опорным. Отталкиваясь от них, он продвигался дальше. И так далее, шаг за шагом. Сегодня мы понимаем, что при таком способе измерений "по шагам"дисперсия случайной ошибки неизбежно увеличивается. То есть, растет погрешность измеренных координат. Чем дальше звезда отстоит от опорных, тем, в среднем, хуже будет она измерена.
.
Поэтому разумно попытаться расширить информативное ядро, добавляя к нему "звезды второго уровня", то есть достаточно яркие и хорошо отождествленные звезды, расположенные сначала совсем рядом с опорными. Потом следует добавить к ним звезды "третьего уровня", находящиеся несколько дальше. Потом - звезды "четвертого уровня". лежащие еще дальше. И так далее. Если мы увидим, что при этом средняя точность широт будет падать МЕДЛЕННО, оставаясь для близких звезд практически такой же, как и для опорных, мы тем самым подтвердим нашу догадку, что выбранные нами звезды "первого уровня"ДЕЙСТВИТЕЛЬНО БЫЛИ ОПОРНЫМИ. А кроме того, мы получим возможность РАСШИРИТЬ "датирующее ядро каталога". И проверить, а возможно и уточнить, нашу датировку.
.
Эту идею мы реализовали следующим образом. Прежде всего мы ограничились теми звездами, которые абсолютно надежно отождествляются в Альмагесте и имеют заметное собственное движение. Они перечислены в табл.4.3. Всего таких звезд 68. Напомним, что информативное ядро из восьми звезд было целиком включено в этот список.
.
В качестве звезд "первого уровня"были взяты восемь звезд информативного ядра. Для них была подсчитана среднеквадратичная невязка по широте после компенсации систематической ошибки. При этом, систематическая ошибка  была найдена в главе 6. Мы допускали вариацию этой ошибки в пределах ±5 с шагом в 1 минуту. По параметру b осуществлялся перебор в границах ±20с шагом в 1 минуту. В качестве среднеквадратичной невязки для каждой априорной датировки каталога мы брали минимальное значение, полученное указанными вариациям параметров  и b. В результате получилась зависимость среднеквадратичной невязки от априорной датировки каталога Альмагеста. Для восьми звезд информативного ядра, то есть звезд "первого уровня", получившийся график приведен на рис.7.12.
http://s8.uploads.ru/OndaX.jpg
рис.7.12: График среднеквадратичной невязки по широте после компенсации систематической ошибки для восьми звезд "первого уровня". Это восемь звезд информативного ядра каталога Альмагеста. Именно они, как показывают наши расчеты, были опорными точками для наблюдений Птолемея. Среднеквадратичная невязка минимизировалась по вариациям параметра  в пределах stat ± 5, и по вариациям параметра b в пределах 0 ± 20. Минимум графика достигается в 900-1000 годах н.э. на уровне 5 - 6 минут дуги. В якобы птолемеевскую эпоху II века н.э., невязка достигает 12, что в два раза больше минимального значения. В якобы гиппарховскую эпоху II века до н.э. невязка - около 14
.
Минимум графика достигается в 900 - 1000 годах н.э. на уровне 5 - 6 минут дуги. Это означает, что на опорных звездах гарантированная точность измерений Птолемея по широте составляла 10- 15. И действительно, все звезды информативного ядра, как мы видели, измерены с точностью не хуже 10 по широте. Что в точности соответствует выбранной Птолемеем цене деления шкалы - 10.
.
Что же касается эпохи II века н.э., то здесь невязка достигает 12. Это - в два раза больше минимального значения. Что делает начало н.э. практически недопустимой эпохой для каталога Альмагеста. Не говоря уж о более ранней "эпохе Гиппарха". Поскольку в эпоху II века до н.э. невязка составляет около 14.

87

В качестве звезд "второго уровня"мы взяли все звезды из табл.4.3, отстоящие от ближайшей звезды информативного ядра не более чем на 5 градусов. Таких звезд оказалось 9, включая информативное ядро. Добавилась звезда 47 Cnc (No. 3461 в каталоге BS4, BS5). Получившийся график среднеквадратичной невязки см. на рис.7.13. Видно, насколько резко меняется картина, как только мы к восьми звездам информативного ядра, то есть к опорным, добавляем всего лишь одну звезду. Причем близкую к ним, надежно отождествленную, хорошо видимую невооруженным глазом, и к тому же изолированную звезду. Это говорит о том, что опорные звезды измерялись Птолемеем многократно и особо тщательно. Остальные измерялись путем простых однократных наблюдений относительно опорных.
http://s9.uploads.ru/Kr4PX.jpg
рис.7.13: График среднеквадратичной невязки по широте после компенсации систематической ошибки для 9 звезд "второго уровня", отстоящих от опорных не более чем на 5o. Среднеквадратичная невязка минимизировалась по вариациям параметра  в пределах stat ± 5, и по вариациям параметра b в пределах 0 ± 20. Минимум графика достигается в 1000 - 1100 годы н.э. на уровне 9 - 10 минут дуги. В эпоху II века н.э. и ранее среднеквадратичная невязка составляет не менее 15
.
Тем не менее, график на рис.7.13 все еще достаточно информативен. Минимум графика невязки достигается в 1000 - 1100 годы н.э. на уровне 9 - 10 минут дуги. В эпоху II века н.э. и ранее среднеквадратичная невязка существенно больше. В 100 году н.э. она равна 15, что составляет более 150% от минимального значения.
.
В качестве звезд "третьего уровня"были взяты все звезды из табл.4.3, отстоящие от информативного ядра не более чем на 10 градусов. Таких звезд оказалось 12, включая информативное ядро. Кроме 47 Cnc к информативному ядру добавились 14o Leo (No. 3852), 8j Boo (No. 5235), 26 Sco (No. 6241).
.
График невязки показан на рис.7.14. Он практически не отличается от предыдущего шага. Это и понятно. Мы находимся все еще очень близко к информативному ядру. При этом само ядро составляет 3/4 от количества звезд в выборке. Минимум графика достигается в 900 году н.э. на уровне 11. В эпоху 100 года н.э. и ранее невязка составляет 14 или больше. Исходя из рис.7.14, наиболее вероятной датировкой каталога Альмагеста оказывается интервал приблизительно от 400 до 1400 годов н.э.
.
рис.7.14: График среднеквадратичной невязки по широте после компенсации систематической ошибки для 12 звезд "третьего уровня", отстоящих от опорных не более чем на 10o. Среднеквадратичная невязка минимизировалась по вариациям параметра  в пределах stat ± 5, и по вариациям параметра b в пределах 0 ± 20. Минимум графика достигается в 900 году н.э. на уровне 11. В эпоху 100 года н.э. и ранее невязка составляет 14 или больше
.
В качестве звезд "четвертого уровня"мы взяли все звезды из табл.4.3, отстоящие от информативного ядра не более чем на 15 градусов. Таких звезд оказалось 15. К предыдущим добавились звезды 78b Gem (No.2990), 79z Vir (No.5107), 24m Leo (No.3905).

88

График невязки см. на рис.7.15. Минимум графика достигается в 800 - 900 годы н.э. на уровне 10- 11. В эпоху 100 года н.э. невязка равна 12. Таким образом, значение минимальной среднеквадратичной невязки почти не меняется. По-видимому при расстояниях до 15o приборы Птолемея позволяли измерять координаты звезды все еще относительно самих опорных звезд, а не "по цепочке".
http://s8.uploads.ru/g54OZ.jpg
рис.7.15: График среднеквадратичной невязки по широте после компенсации систематической ошибки для 15 звезд "четвертого уровня", отстоящих от опорных не более чем на 15o. Среднеквадратичная невязка минимизировалась по вариациям параметра  в пределах stat ± 5, и по вариациям параметра b в пределах 0 ± 20. Минимум графика достигается в 800 - 900 годы н.э. на уровне 10-11. В эпоху 100 года н.э. невязка равна 12
.
Наконец, в качестве звезд "пятого уровня"были взяты звезды из табл.4.3, удаленные от информативного ядра не более чем на 20 градусов. Таких звезд оказалось 22, включая информативное ядро. Добавились звезды 112b Tau (No. 1791), 60i Gem (No. 2821), 68 Leo (No. 4357), 29 Vir (No. 4825), 27 Boo (No. 5435), 3b CrB (No. 5747), 5 CrB (No. 5793).
.
График невязки показан на рис.7.16. Минимум графика достигается в 400 - 800 годы н.э. на уровне 22- 23. Это уровень среднеквадратичной ошибки, характерный для каталога Альмагеста в целом. То есть, влияние близости опорных звезд на расстоянии 15o --20o уже исчезает. График практически выровнялся за счет заметного понижения точности измерений на таком расстоянии от опорных звезд. Невязка в эпоху начала н.э. составляет 23, в эпоху V века до н.э. - 24. И так далее.
http://s9.uploads.ru/udB84.jpg
рис.7.16: График среднеквадратичной невязки по широте после компенсации систематической ошибки для 22 звезд "пятого уровня", отстоящих от опорных не более чем на 20o. Среднеквадратичная невязка минимизировалась по вариациям параметра  в пределах stat ± 5, и по вариациям параметра b в пределах 0 ± 20. Минимум графика достигается в 400 - 800 годы н.э. на уровне 22--23. Это уровень, характерный для каталога Альмагеста в целом. То есть, влияние близости опорных звезд на расстоянии 15o - 20o уже исчезает. График практически выровнялся за счет заметного понижения точности измерений на таком расстоянии от опорных звезд. Невязка в эпоху начала н.э. составляет 23, в эпоху V века до н.э. - 24. И так далее
.
На последнем шаге наблюдается резкое падение точности измерений. Среднеквадратичная ошибка возросла в два раза. Поэтому, прежде чем двигаться дальше при расширении информативного ядра каталога, будем подсчитывать среднеквадратичную невязку лишь по тем звездам, которые при данной априорной датировке каталога Альмагеста получили не более чем 30-минутную ошибку по широте. Это позволит нам избавиться от заведомо очень плохо измеренных Птолемеем звезд. Естественно, отбор таких звезд зависит от априорной датировки каталога. При одной априорной датировке какая-то звезда может оказаться измеренной хорошо. А при другой датировке - плохо. Или наоборот.
.
Мы будем продолжать учитывать обнаруженную систематическую ошибку в каталоге Альмагеста и варьировать  и b в тех же пределах, как и выше.

89

Количество звезд, вошедших в выборку после такого отбора, мы будем изображать на том же графике, что и невязку. Получившаяся картина представлена на рис.7.17. Видно, что минимум среднеквадратичной невязки СНОВА УПАЛ до 9 в 800 - 900 годах н.э. А в эпоху якобы Птолемея и Гиппарха, то есть от 400 года до н.э. до 100 года н.э., значения невязки МАКСИМАЛЬНЫ - около 12. Отметим, что получившиеся значения невязки в 9 в области априорных датировок 800 - 900 годы н.э., хорошо соответствуют ограничению на невязку в 30, которое мы задали заранее. Поскольку нормально распределенная случайная величина со среднеквадратичным отклонением порядка 9- 10, с вероятностью близкой к единице, не будет превосходить 30, то есть границы 3s.
http://s9.uploads.ru/JhqWC.jpg
рис.7.17: График среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл.4.3, попавших в 20-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности. Из выборки исключались звезды, получившиеся более чем 30-минутную ошибку по широте при данной априорной датировке. Систематическая ошибка каталога была скомпенсирована
.
Увеличим теперь допустимое расстояние звезд до информативного ядра каталога с 20o до 25o. При этом будем по-прежнему рассмотривать лишь те звезды, у которых ошибка по широте не превосходит 30 для данной априорной датировки. Полученные графики см. на рис.7.18. Здесь представлены невязка и количество звезд, вошедших в выборку для каждой априорной датировки. Минимум среднеквадратичной невязки достигается в интервале от 800 до 1000 годов н.э. и составляет около 9, 5. Максимальное значение невязки, около 12, 5, достигается около 400 года до н.э. В эпоху якобы Птолемея и Гиппарха, то есть около начала н.э., значение невязки близко к максимальному - около 12. Количество звезд, вошедших в выборку, - от 21 до 24. В минимуме среднеквадратичной невязки в выборке оказалось 23 звезды.
http://s8.uploads.ru/cm6BF.jpg
рис.7.18: Аналогичный график среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл.4.3, попавших в 25-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности
.
Увеличим допустимое расстояние звезд до ядра с 25o до 30o, сохранив остальные параметры. Результат см. на рис.7.19. Опять минимально возможная невязка по широте достигается лишь после 800 года н.э. Здесь в выборке оказывается 30 звезд. Число звезд в выборке при разных априорных датировках колеблется от 20 до 31 звезды. Около начала н.э. невязка составляет около 13. Что близко к максимальному значению на данном графике.
http://s9.uploads.ru/iFScx.jpg
рис.7.19: Аналогичный график среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл.4.3, попавших в 30-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности

90

На рис.7.20, рис.7.21, рис.7.22 приведены аналогичные график для звезд удаленных от ядра каталога Альмагеста не более чем на 35o, 40o, 45o. При этом в выборке участвует около 35 - 42 звезд. Минимум среднеквадратичной невязки по широте становится все менее выраженным и начинает "уходить в будущее". Общий вид графика становится все более и более пологим, горизонтальным.
http://s9.uploads.ru/CPEXp.jpg
рис.7.20: Аналогичный график среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл.4.3, попавших в 35-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности
http://s9.uploads.ru/hEqTW.jpg
рис.7.21: Аналогичный график среднеквадратичной широтной невязки по совокупности звезд из табл.4.3, попавших в 40-градусную окрестность информативного ядра каталога. Показан также график числа звезд в этой совокупности


Вы здесь » Новейшая доктрина » Николай Александрович Морозов » В.В.Калашников, Т.Н.Фоменко, ФиН ЗВЕЗДЫ АЛЬМАГЕСТА (ХРОН 3)