АПОКАЛИПСИС

Геометрическая фантазия на темы библейской книги Апокалипсис. Использованы разнообразные математические образы. Например, математическая бесконечность, гомотопия и гомеоморфизм (деформации человеческих тел), элементы фрактальной геометрии, линзовые пространства - класс многообразий из трехмерной топологии, особые точки алгебраических поверхностей.  Мотив Страшного Суда - один из самых популярных в средневековой идеологии. Злые люди будут отделены от добрых, "плевелы" от "пшеницы". Вселенная придет в движение, космос содрогнется. Земля и море, звери, птицы, рыбы, отдают назад поглощенные ими тела мертвецов. Человек, очнувшийся от смертного сна, со страхом видит перед собой Христа-судью и ждет приговора. Раскрываются книги, где записаны все свершенные дела. Меркнут луна и солнце, звезды падают с неба, небо лопается и сворачивается как свиток. Земля разрезается гигантской трещиной, достигающей ада.

ФАНАТИКИ

В поздне-средневековой Индии существовал удивительный обычай. По окончании празднества (происходившего раз в 12 лет) царь Саморина обязан был четверым из гостей, претендентам на его корону, предоставить возможность совершить дерзкую вылазку: силой оружия проложить себе путь через толпу в несколько тысяч телохранителей, в центре которой находился царь. Тот, кому удастся это практически невозможное предприятие, наследует империю. Вооруженным до зубов телохранителям при этом, естественно, отдавался приказ убить смельчаков. Из толпы выступала группа украшенных цветами и вымазанных золою людей с мечами в руках. Проходит мгновение - и вот они уже прокладывают себе путь среди копий, отбиваются мечами, извиваясь и корчась, как угри. Один за другим они падают, сраженные сталью. Они умирают даже не ради призрачной короны, а чтобы продемонстрировать окружающим свою доблесть. Та же великолепная демонстрация храбрости, то же бесполезное принесение в жертву человеческих жизней повторяется и в остальные дни праздника.  (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь).

Топологическая фантазия на тему работы известного фотографа Stefan'а Arczyn'ski: "Zdjecie do Plakatu:Pantomima Wroclawska".

АТЛАНТЫ

По легендам, Атлант держал на своих плечах небо.

МАТЕМАТИКА:
ТЯЖЕЛЫЙ ВОЛЧОК, ПЛАВАЮЩИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Тяжелый гироскоп - это волчок, симметричное твердое тело, стремительно вращающееся вокруг своей оси. Замечательным его свойством является то, что ось волчка сохраняет свою ориентацию в окружающем пространстве, независимо от того, как перемещается аппарат, внутри которого помещен гироскоп (например, самолет). Это - важный прибор, применяемый в навигационной технике для ориентации аппаратов в окружающем пространстве. Уравнения движения тяжелого твердого тела изучаются сегодня методами теории дифференциальных уравнений, симплектической геометрии, алгебры и топологии. Если твердое тело имеет "произвольную форму", не обладает никакими симметриями, то тогда его движение будет хаотично, тело будет беспорядочно кувыркаться в пространстве.
МИФОЛОГИЯ. Ледяная скала-сосулька, расплавившаяся в космосе.  По поверью индейцев-сеналов (Америка) весь мир был когда-то огненным шаром, а от него огненная стихия перешла на деревья.  Именно поэтому, если потереть друг о друга два куска дерева, появляется огонь. Аналогично, племя майду убеждено, что земля была расплавленным шаром, огонь которого впитали в себя деревья. Да и сегодня, корни могучих дубов уходят в подземную бездну, где до сих пор пылает пламя, и пьют эту энергию. Поэтому молния чаще всего поражает дуб, стремясь быстрее слиться с подземным огнем. Скрытое пламя, которым питается дуб, очищает от скверны всех, приближающихся к нему. Вокруг дуба распространяется облако невидимого огня. У древних германцев дубы, пораженные молнией, были окружены орелом славы, так как в их обугленном расщепленном остове они видели руку Громовержца.

МАТЕМАТИКА:
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Хаотическое движение траекторий сложных эргодических систем связано с турбулентностью в потоках жидкости или газа. Движение раскаленных частиц в потоке пламени подчиняется чрезвычайно сложным закономерностям, частично описсываемым дифференциальными уравнениями в частных производных.
.
МИФОЛОГИЯ.
Памяти литовского поэта и художника М.К.Чюрлениса. А также:  странствующий корабль-парусник в ночном океане. Легенда о Летучем Голландце, обреченном бесконечно бороздить моря и внушать страх встречным кораблям. Раз в году при приближении зимы, Летучий Голландец уходит далеко на юг к мысу Горн и пытается обогнуть его, чтобы прорваться из Атлантического океана в Тихий.  Однако тяготеющее над ним проклятие не пускает корабль. А также:  легенда о Ноевом ковчеге. В библейской книге Бытие рассказывается, что воды подняли ковчег, и он отправился в плавание по океану, который полностью покрыл всю прежнюю землю.  Погибли почти все, жившие до потопа. (Бытие 7:17-20).  Когда потоп кончился, вода спала, и ковчег пристал к вершине горы. Согласно одной из версий, это - гора Арарат. Остатки ковчега искали здесь в XIX-XX веках неоднократно, но безуспешно.

МАТЕМАТИКА:
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ ОБТЕКАНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ

Картина обтекания твердого тела в набегающем потоке жидкости или газа. Интересные события происходят в пограничном слое, т.е. в слое жидкости, примыкающем к твердому телу.  Поток жидкости моделируется векторным полем, интегральные траектории которого изображают линии тока, т.е. линии, по которым движутся частицы жидкости. Важные события происходят в особых точках векторного поля. Они могут соответствовать источникам или стокам жидкости, или быть "седловыми". На рисунке видно образование седловой точки потока там, где набегающий поток ударяется о поверхность тела, ортогональную одной из линий тока.
МИФОЛОГИЯ
.
Гибель Аякса - одного из героев Троянской войны. Отличался буйным и дерзким нравом. Во время взятия Трои изнасиловал знаменитую предсказательницу Кассандру, искавшую защиты у алтаря Афины. За это святотатство ахейцы хотели побить его камнями, но Аякс нашел убежище у того же алтаря Афины. Однако при возвращении флота, разгневанная Афина разбила бурей у Кикладских островов корабль Аякса, метнув в него перун. Аякс пытался спастись, уцепившись за скалу, но неосторожно тут же похвалился, что остался жив вопреки воле богов. Это он сделал напрасно. Взбешенный Посейдон ударом трезубца расколол скалу и Аякс погиб в бушующем океане и огне.

МАТЕМАТИКА.
Математическая бесконечность и трансфинитные числа

Каждая "бесконечность" превращается в новое "число". Затем берется бесконечная последовательность таких "чисел". В результате возникает "новая бесконечность", которая может рассматриваться как "число" следующей иерархии. Процесс повторяется неограниченно. Такие "бесконечности" можно складывать, оперировать с ними как с обычными числами, однако у них появляются новые свойства.
МИФОЛОГИЯ
.
Шествие на Голгофу и распятие. А также: Апокалипсис и Страшный Суд. В скандинавской-германской мифологии этот христианский сюжет отразился как "Рагнарек - гибель богов". Якобы мир погибнет в последней битве богов и чудовищ. Предвестием катастрофы служит смерть юного бога Бальдра - любимого сына О'дина и Фригг. Его начинают мучать вещие сны, предсказывающие гибель.  О'дин отправляется в царство мертвых, чтобы узнать судьбу. Там он силой пробуждает от сна прорицательницу вельву, которая предрекает Бальдру смерть от руки слепого бога Хеда. Несмотря на все попытки О'дина предотвратить гибель сына, пророчество вельвы сбывается. Это - прелюдия к концу мира.  Сначала - трехгодичная всемирная зима. Огромный волк глотает солнце, другой волк - луну. Солнце чернеет и звезды падают с неба. Землетрясение. Поднимаются воды, и наступает нестерпимый жар. На свободу вырываются огромные чудовища, в частности, волк Фенрир и змей Ермунганд. Из царства мертвых выплывает корабль мертвецов Нагльфар, сделанный из ногтей мертвецов.  Появляются инеистые великаны. Страж богов трубит в рог и будит богов во главе с О'дином. Начинается последняя битва, в которой светлые боги, возглавляемые О'дином, терпят поражение. Погибают и все люди. Вскоре мир снова возрождается, и все повторяется сначала.

МАТЕМАТИКА.
Сфера, к которой приклеена трубка-цилиндр

Один из шагов доказательства известной формулы Гаусса-Бонне о том, что нормированный поверхностный интеграл от гауссовой кривизны равен эйлеровой характеристике поверхности.  Интеграл по сфере равен единице (при подходящей нормировке), а интеграл по трубке, следовательно, равен -1. Это легко видеть, перетянув сферу посередине, чтобы получить трубку, соединяющую две сферы. Теперь достаточно представить любую замкнутую поверхность в виде набора сфер, соединенных такими трубками, чтобы завершить доказательство теоремы.
МИФОЛОГИЯ
.
Как сообщается в Библии, звук труб разрушил стены города Иерихона. Во время завоевания земли обетованной, народ подступил к стенам хорошо укрепленного города Иерихон. Нападающие выстроились перед стенами и затрубили в трубы. И как только все услышали голос труб, народ крикнул громким и сильным голосом. И от этого крика и рева труб обрушились стены города. Войска ворвались в ставший беззащитным Иерихон "и предали заклятию все, что в городе, и мужей и жен, и молодых и старых, и волов и овец, и ослов, [все] истребили мечом." (Иисус Навин 6:19-20).

МАТЕМАТИКА.
Понятие нечеткого множества

Классическая математика имеет дело с четкими, точно формализуемыми понятиями. Например, алгебраические поверхности, которые можно задать формулами. В центре рисунка изображена такая поверхность с особыми точками.  В последнее время большую популярность приобретает раздел математики, в котором основными объектами являются нечеткие, размытые множества. Они возникают в геометрии и топологии, в вычислительной математике, в теории вероятностей. Можно определить естественные операции над такими множествами, понятие близости (толератности).  Так возник нестандартный математический анализ, сложилось представление о вероятностном подходе к доказательству теорем.  Понятие "размытого натурального числа" естественно возникает при операциях с очень большими натуральными числами.
МИФОЛОГИЯ
.
Утренняя молитва. Поклонение деревьям. Одушевленные деревья обладают чувствительностью, их порубка - тонкая хирургическая операция. Если "хирург" неумелый, дерево может разорвать его на части. В китайских книгах фигурируют деревья, истекающие кровью и испукающие крики боли и негодования, когда их надрубают, спиливают или поджигают. (Дж.Дж.Фрэзер. Фольклор в Ветхом Завете). (J.G.Frazer, "The golden Bough", London, 1923, русский перевод, Москва, 1984, стр.113, глава 9).

МАТЕМАТИКА

Гладкая функция, в отличие от аналитической, может быть сглажена до нуля и затем продолжена нулем. Другими словами, она может быть определена на всей прямой, но быть отличной от нуля только на одном интервале (для аналитической функции такое невозможно).
МИФОЛОГИЯ
.
Памяти русского мыслителя и художника Николая Рериха. Далекие горные монастыри, монахи, ледяные скалы, пропасти и вершины человеческой мысли, тайные учения Востока и языческая Русь. Николай Рерих соединил в своем творчестве древнерусскую культуру с культурой Востока.

МАТЕМАТИКА

Гомотопические группы - это важные инварианты топологических пространств, позволяющие, в частности, отличать пространства друг от друга (например, пространства гомотопически не эквивалентны, если их гомотопические группы различны). Поэтому вычисление гомотопических групп - важная проблема топологии. Одна из наиболее известных - вычисление гомотопических групп сфер. Эти группы образованы классами гомотопных отображений одной сферы в другую. Содержательным является случай, когда сфера большой размерности отображается на сферу малой размерности (если соотношение размерностей обратное, то такие отображения гомотопически тривиальны, а потому неинтересны). Под действием такого отображения "большая сфера" как-то сминается, ее образ становится достаточно сложным и накрывает "малую сферу" "несколькими слоями".
МИФОЛОГИЯ
.
Зарождение тайфуна, "глаз" будущего урагана. Согласно индийской мифологии, многие живые существа имеют кроме двух обычных глаз еще один - третий, тайный глаз. Он позволяет видеть скрытое движение энергии и раскрывается только в том случае, когда живое существо достигает высокого уровня развития.

  МАТЕМАТИКА.
Из книги "Гомотопическая топология"

Показан первый шаг в бесконечном процессе построения сферы Александера (= рогатой сферы). Вдали поднимаются две "трубы", на концах которых вырастают по два "пальца" (две новые трубки), которые "почти зацеплены" в объемлющем пространстве, но не склеиваются.  Топологическое вложение рогатой сферы в трехмерное евклидово пространство является "диким" (т.е. не локально плоским) в бесконечном множестве точек, образующем канторово множество.

МАТЕМАТИКА
Действие фундаментальной группы на высших гомотопических группах

Из книги "Гомотопическая топология". Каждое топологическое пространство обладает гомотопическими инвариантами, среди которых важное место занимают гомотопические группы "пи-i". Первая из них называется фундаментальной группой. Ее элементы - это классы гомотопных путей. Пути считаются гомотопными, если их можно непрерывно продеформировать друг в друга. Элемент группы "пи"-i при i>1 можно представить в виде сфероида, расположенного в пространстве (сфероид задается непрерывным отображением сферы).  Фундаментальная группа естественно действует на высших гомотопических группах. Принцип действия показан на рисунке.  Элемент фундаментальной группы изображается петлей. Затем из сфероида вырастает тонкая трубочка, скользящая вдоль петли и заканчивающаяся в начальной точке петли.  Таким образом, каждый сфероид заменяется на новый сфероид. Это и задает отображение сфероидов, т.е.  отображение элементов гомотопической группы.  После такого преобразования прежний сфероид покидает свое место и начинает свободно плавать в пространстве, будучи прикреплен к начальной точке тонкой трубкой.