МАТЕМАТИКА.
Особенности гладких функций
.
В правой части показаны гомеоморфные образы особенностей, возникающих на поверхности, задаваемой уравнением;
(z - 1)^2 (x^2 - z^2) - (x^2 - z)^2 - y^4 - y^2 (2x^2 + z^2 + 2z - 1) = 0.
МИФОЛОГИЯ
.
В храме Аполлона Дирадиотеса в Аргосе раз в месяц ночью приносили в жертву ягненка. Женщина-жрица (она должна была соблюдать целомудрие), отведав крови ягненка, приводилась богом в состоянии одержимости и пророчествовала. Жрицу Аполлона перед началом прорицания окуривали дымом священного лавра. На острове Мадура, близ северного побережья Явы, у каждого духа имеется постоянный медиум, чаще всего женщина. Вдыхая пары филиама, исходящие из дымящегося кадила, она постепенно впадает в транс и ее речь рассматривается затем как пророческая. (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь.  М., 1984, с.96).  Распространено предписание, согласно которому не должна проливаться на землю кровь верховного правителя. Марко Поло писал, что присутствуя на казни знаменитого изменника Мурро О'Брайена в городе Лимерик, он видел, как старая женщина - его приемная мать - взяла отрубленную голову и выпила всю вытекавшую из нее кровь со словами, что земля недостойна ее впитать.

МАТЕМАТИКА.
Сепаратрисная диаграмма критической точки
.
Невырожденная критическая точка индекса один гладкой функции, заданной на трехмерном многообразии, характеризуется тем, что в нее "снизу" входят две одномерные сепаратрисы, а "наверх" выходит двумерный сепаратрисный диск. Получается нечто вроде "колокола", изображенного на рисунке. При этом его "ось" условно изображает две "одномерных уса"-сепаратрисы.
МИФОЛОГИЯ
.
Священное копье. В средневековой Азии был распространен мотив сотворения мира небесным существом, спустившимся с неба и ставшим мешать воду первозданного океана гигантским копьем. В океане возникло сгущение, давшее начало будущей земле. Японские острова тоже, якобы, возникли из грязной пены, поднявшейся в тот момент, когда бог стал мешать мировой океан острием своего копья. Создав мир, бог вешает копье на стену своего жилища. На конце копья горит пламя, освещающее мир. В средние века морские легенды обожествляли так называемые "огни святого Эльма" - трепещущие языки пламени, иногда возникающие на вершинах мачт кораблей (и вообще - на концах острых предметов) в перенасыщенной электричеством грозовой атмосфере океана.

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА.
Возникновение и распространение трещин в материале - один из важных разделов современной науки.
.
МИФОЛОГИЯ
.
Океан ночью. Флотилия судов, уходящая в далекое плавание.  Средневековая греческая легенда о Хароне - перевозчике мертвых в Аиде.  Он перевозит души мертвых по гигантской подземной реке. Цена перевоза - один обол. При погребальном обряде его клали под язык.  Харон перевозит лишь тех, чьи кости обрели покой в могиле. Стикс - река в царстве мертвых. Клятва водой Стикса - самая страшная. Эней был единственным живым человеком, которого мрачный старик Харон был вынужден перевезти через реку, поскольку Харону была показана золотая ветвь, сорванная в роще Персефоны.

МАТЕМАТИКА.
.
Изображена (в развертке) последовательность случайных чисел, где каждое число условно закодировано своим геометрическим образом.  Например, последовательность знаков десятичного разложения числа "пи" является примером такой последовательности.
МИФОЛОГИЯ
.
Многие средневековые ритуалы были направлены на управление погодой (вызывание дождя или его прекращение, контроль над ветрами и т.п.).  Воронки смерчей часто при этом отождествлялись с духами, управляющими ураганом.  Про бедуинов Восточной Африки известно, что "ни один смерч не промчится на их пути без того, чтобы за ним не погналась дюжина мужчин с обнаженными кинжалами, нанося удары в центр пыльного столба с замерением изгнать злого духа, который, согласно поверью, скачет верхом на урагане".(Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь. М. 1984, с.84).  Геродот рассказывает, что однажды в стране псиллов ветер высушил водоемы.  Тогда весь народ в полном составе отправился в пустыню на войну против южного ветра. Но когда они вошли туда, на воинов обрушился самум, который погреб их всех до единого.

Юмористический рисунок: бритва Оккама. I

Юмористический рисунок. Конец погони
.
Преследователь почти догнал беглеца, но добраться до него не может. Оба сильно устали. Что делать дальше - непонятно..

МИФОЛОГИЯ
.
Эней, спускаясь в подземное царство, берет с собой ветвь омелы. Он попадает в обширный темный лес, раскинувшийся у врат ада. Увлекаемый двумя голубями, Эней все дальше углублялся в дебри первозданного леса, пока сквозь тени скал и деревьев не увидел мерцающий вдалеке отсвет Золотой ветви.  В качестве объекта культа друиды выбрали дуб с растущей на нем омелой, считая, что каждый такой дуб не только был поражен молнией, но и хранил этот огонь. Поэтому, срезая омелу, друиды надеялись овладеть силой молнии. В ведических гимнах говорится, что бог огня Агни родился в лесу и был распределен среди растений.

Из иллюстраций к книге "Введение в топологию"
.
:  авторы:
Ю.Г.Борисович, Н.М.Близняков, Я.А.Израилевич, Т.Н.Фоменко.

Из иллюстраций к книге "Введение в топологию"
.
:  авторы:
Ю.Г.Борисович, Н.М.Близняков, Я.А.Израилевич, Т.Н.Фоменко.

МАТЕМАТИКА.
Цветной ковер числа "пи"
.
Здесь десятичное разложение числа располагается на плоскости в виде квадратной спирали, раскручивающейся от центра картины. Напомним, что десятичное разложение "пи" начинается так:  3,14159265358979323846...  и т.д. Бесконечную плоскость разбиваем на квадраты (квадратная решетка), цифру 3 помещаем в центр, а затем, двигаясь против часовой стрелки, последовательно выписываем все цифры десятичного разложения, перемещаясь по квадратной спирали.  При этом все время движемся по внешней стороне уже заполненной фигуры.  Изображено около 2500 знаков десятичного разложения числа "пи", в результате чего возник "квадрат" размером 46 x 46. Каждая цифра закодирована своим цветом: 0 = белый, 1 = коричневый, 2 = красный, 3 = оранжевый, 4 = желтый, 5 = зеленый, 6 = голубой, 7 = синий, 8 = фиолетовый, 9 = черный (в конце спирали несколько клеток не закрашены). Выбор цветной кодировки произволен (и в другом рисунке, посвященном числу "e" мы применим другую расцветку цифр).
Начальная цифра 3 никак не закрашена, чтобы был виден центр цветного ковра. Все остальные цифры, начиная с 1 (т.е. сразу после запятой), закрашены соответствующими цветами. Получившийся ковер и видит зритель. Поскольку цифры разложения образуют случайную последовательность, то и "квадратный ковер" является "случайным", т.е. распределение цветов на нем полностью хаотично (в некотором смысле, который мы здесь не уточняем). Ковер был бы случайным и при другом способе заполнения плоскости, например, можно было бы наматывать разложение "пи" по треугольной спирали и т.п. Человеческие фигурки, покрывающие ковер, усиливают эффект случайности, поскольку никакого соответствия между цифрами и фигурками нет.  Замечательно, что если построение цветового ковра продолжить достаточно долго, то рано или поздно на нем возникнет любая картина, когда либо нарисованная художниками прошлого (а также появятся все картины, которые будут нарисованы в будущем).  Например, зритель рано или поздно увидит на ковре все картины Рафаэля, Микеланджело и др.  Правда, придется долго ждать - быть может, миллиарды лет.  Впрочем, фантазия зрителя может попытаться увидеть какое-либо изображение уже на квадрате с 2500 знаками.  Например, замечательный советский математик Андрей Николаевич Колмогоров рассматривая эту мою работу, отыскал в ней "мышку с лукошком" в правой лапке.  А.Н.Колмогоров высказывал глубокие натурфилософские идеи о случайности и бесконечности, возникавшие у него при сравнения друг с другом построенных мною цветовых ковров чисел "пи" и "e".

Динамика тяжелого твердого тела. Волчки, гироскопы

МАТЕМАТИКА:
.
Перестройки торов Лиувилля в интегрируемых системах с двумя степенями свободы. Бифуркации типа "атом В".

МАТЕМАТИКА:
Двулистное накрытие тором бутылки Клейна

МАТЕМАТИКА:
.
Показана идея доказательства следующей теоремы: на любом гладком симплектическом многообразии размерности 2n всегда
существует набор из n гладких независимых функций, находящихся в
инволюции.  Такие семейства функций называются полными инволютивными.
Поиск таких семейств - одна из центральных задач гамильтоновой механики.  Полные инволютивные семейства функций - это интегралы уравнений (т.е.величины, сохраняющиеся при движении вдоль интегральных траекторий). Для построения примера таких семейств функций, нужно покрыть почти все многообразие M непересекающимися открытыми шарами так, чтобы дополнение к объединению шаров имело меру нуль.  Такое счетное семейство шаров (постепенно уменьшающихся в размерах) и показано на рисунке.  Затем достаточно построить полное инволютивное семейство функций на одном из шаров и повторить то же самое на остальных шарах.  После чего остается лишь "сшить" функции вместе, опираясь на то, что каждая такая функция обращается в ноль на границе шара. Множества, подобные изображенному на рисунке, встречаются и в других разделах математики (например, в теории фракталов - множества Мандельброта и Жулиа).