.
А. Верёвкин 
.
"Искусство американских индейцов"


Вот тут ещё много такого:
.
http://bclee.net/rockart/myrockart.html
.
Какие мысли будут?

АнТюр
.
"Новгородская дендрошкала. Первые впечатления"
.
  Новгородская дендрошкала. Первые впечатления
О постановке вопроса
В работе <4> обращено внимание на некоторые «нелогичности» новгородской дендрохронологии. В работе <7>, критической по отношению к работе <4>, продемонстрировано, что ее автор просто не понимает о чем идет речь. Такое впечатление, что авторы указанных работ находятся в разных понятийных и смысловых измерениях. Это и определило наше желание самостоятельно разобраться в вопросах, связанных с новгородской дендрохронологией.
.
Об алгоритме построения новгородской дендрошкалы
В построении новгородской дендрошкалы <1, 7> можно выделить четыре этапа: построение дендрошкалы длительностью 579 лет (первый этап), ее абсолютная датировка 884-1462 годами (второй этап), развитие до 1595 года (третий этап) и ХХ века (четвертый этап).
Построение новгородской дендрохрошкалы начато в 1959 году. К этому времени археологические стратиграфические слои древнего Новгорода уже датированы. Для составления дендрошкалы взяты предварительно датированные по археологическим данным спилы от бревен и плах мостовой. «Наиболее многолетние деревья в возрасте до 200-250 лет встречены в слоях второй половины XIII в., XIV в. и в начале XV в. В слоях XI и XII вв. преобладали образцы в 40-100 лет» <1>. Эти датировки и явились основой взаимоувязки всех дендрокривых. «От образцов XIV в, наиболее многолетних и здоровых, давших более 400 графиков, мы развили шкалу в глубь веков, до X в. (28-го яруса) и вверх, к современности, до первого яруса включительно» <1>. Таким образом, на первом этапе была сразу построена предварительно датированная по археологическим данным дендрошкала протяженностью в 579 лет. Ее датировка: конец IX в.- середина XV в.
Абсолютная датировка новгородской дендрошкалы (второй этап) выполнена по времени заложения пяти церквей. По отобранным в них образцам дерева построена независимая дендрошкала протяженностью 237 лет. Установлено, что даты образования по%F
.
АнТюр
.
1. "RE: Новгородская дендрошкала. Первые впечатления"
.
Новгородская дендрошкала. Первые впечатления
О постановке вопроса
В работе <4> обращено внимание на некоторые «нелогичности» новгородской дендрохронологии. В работе <7>, критической по отношению к работе <4>, продемонстрировано, что ее автор просто не понимает о чем идет речь. Такое впечатление, что авторы указанных работ находятся в разных понятийных и смысловых измерениях. Это и определило наше желание самостоятельно разобраться в вопросах, связанных с новгородской дендрохронологией.
.
Об алгоритме построения новгородской дендрошкалы
В построении новгородской дендрошкалы <1, 7> можно выделить четыре этапа: построение дендрошкалы длительностью 579 лет (первый этап), ее абсолютная датировка 884-1462 годами (второй этап), развитие до 1595 года (третий этап) и ХХ века (четвертый этап).
Построение новгородской дендрохрошкалы начато в 1959 году. К этому времени археологические стратиграфические слои древнего Новгорода уже датированы. Для составления дендрошкалы взяты предварительно датированные по археологическим данным спилы от бревен и плах мостовой. «Наиболее многолетние деревья в возрасте до 200-250 лет встречены в слоях второй половины XIII в., XIV в. и в начале XV в. В слоях XI и XII вв. преобладали образцы в 40-100 лет» <1>. Эти датировки и явились основой взаимоувязки всех дендрокривых. «От образцов XIV в, наиболее многолетних и здоровых, давших более 400 графиков, мы развили шкалу в глубь веков, до X в. (28-го яруса) и вверх, к современности, до первого яруса включительно» <1>. Таким образом, на первом этапе была сразу построена предварительно датированная по археологическим данным дендрошкала протяженностью в 579 лет. Ее датировка: конец IX в.- середина XV в.
Абсолютная датировка новгородской дендрошкалы (второй этап) выполнена по времени заложения пяти церквей. По отобранным в них образцам дерева построена независимая дендрошкала протяженностью 237 лет. Установлено, что даты образования последних внешних колец у деревьев являются 1299, 1354, 1383, 1417 и 1420 годы, что на один год расходится с датами заложения церквей, в которых отобраны соответствующие образцы. Эта абсолютно датированная вспомогательная шкала использована как эталон для датировки новгородской дендрошкалы. После эталонирования новгородская дендрошкала получила абсолютные даты от 884 до 1462 годов. В дальнейшем эта датировка подтверждена таким же способом по датам заложения еще трех церквей, построенных в 1371, 1342-1343 и 1467 годах. Таким образом, новгородская дендрошкала датирована по приведенным в летописях датам заложения 8 церквей. Отметим, что абсолютная датировка новгородской дендрошкалы соответствует ее датировке, выполненной по археологическим данным.
Дальнейшие сборы образцов древнего дерева от новгородских архитектурных сооружений XVI в. (как можно понять из текста работы <1> эти образцы не имеют точную абсолютную датировку) позволили продлить новгородскую дендрошкалу до конца XVI в. (третий этап). «Таким образом, новгородская дендрохронологическая шкала, составленная на основе массовых археологических и архитектурных материалов, собранных непосредственно в Новгороде и под Новгородом, имеет хронологические пределы от 884 до 1595 г.» <1>. На четвертом этапе новгородская дендрошкала доведена до живущих сегодня деревьев. Это позволило «составить совокупный график за VIII-ХХ вв» <7>.
Таким образом, новгородская дендрошкала составлена по новгородским мостовым при учете археологических данных (ее часть, характеризующая 884-1462 годы), датирована по приведенным в летописях датам заложения 8 церквей и доведена до живущих сегодня деревьев, путем включения в нее дендрокривых, полученных из стволов деревьев архитектурных сооружений.
.
О термине «новгородская дендрошкала»
Имеется несколько существенно отличных друг от друга толкований термина «новгородская дендрошкала». По качественным и количественным признакам, а также их сочетанию можно сформулировать пары, наиболее отличающихся толкований термина.
.
По качественным признакам.
Новгородская дендрошкала – это совокупность дендрокривых, увязанных как между собой, так и с абсолютными датами.
Новгородская дендрошкала – это совокупность дендрокривых увязанных как между собой, так и с абсолютными датами, а также принятых во внимание при увязке и датировании априорных для дендрохронологии данных, прежде всего, археологических и летописных. Или короче – это совокупность увязанных между собой дендрокривых, археологических и летописных данных.
.
По количественным признакам.
Новгородская дендрошкала – это вся совокупность увязанных между собой дендрокривых – «совокупный график за VIII-ХХ вв» <7>.
Новгородская дендрошкала – это наиболее достоверная часть всей совокупности увязанных между собой дендрокривых, прошедшая апробацию и опубликованная в стандартизированном виде на специализированных сайтах <5, 6>.
.
По сочетанию количественных и качественных признаков.
Новгородская дендрошкала – это вся совокупность увязанных между собой дендрокривых, археологических и летописных данных. <1, 7>. Это термин обозначает научную продукцию новгородской археологии, выданную для внутреннего пользования.
Новгородская дендрошкала – это наиболее достоверная часть всей совокупности увязанных между собой дендрокривых, археологических и летописных данных, прошедшая апробацию и опубликованная в стандартизированном виде на специализированных сайтах <5, 6>. Этот термин обозначает научную продукцию новгородской археологии, выданную для общего пользования. В соответствии с таким пониманием новгородская шкала охватывает период 582 года и включает 99 дендрокривых. По принятой датировке (по Б.А. Колчину) она характеризует период 880-1461 годов.
Говорить о том, какое толкования термина лучше отражает феномен «новгородская дендрошкала» смысла не имеет. А вот четко видеть, какое толкование вкладывается в этот термин в конкретной статье – необходимо.
.
О научных публикациях по способам построения и датирования новгородской дендрошкалы
Можно составить список вопросов, которые должны были быть рассмотрены в научных публикациях, сопровождающих построение, датирование и применение новгородской дендрошкалы.
1. Обоснование достоверности приведенных в летописях дат заложения церквей, по которым выполнена абсолютная датировка новгородской дендрошкалы.
2. Методы и результаты:
- составления вспомогательной (эталонной) дендрошкалы по образцам, отобранным в 5 церквях;
- абсолютного датирования новгородской дендрошкалы по эталонной дендрошкале;
- подтверждения датирования новгородской дендрошкалы по образцам, отобранным в 3 церквях.
3. Увязка времени существования новгородских мостовых с этапами градостроительства и изменением климата.
4. Сопоставление новгородской дендрошкалы с другими абсолютно датированными дендрошкалами региона.
5. Увязка дендрошкалы с живущими сегодня деревьями.
6. Результаты автоматизированной (компьютерной) проверочной сборки дендрокривых, составляющих новгородскую дендрошкалу.
В работе <1> в главе, посвященной построению и абсолютному датированию новгородской дендрошкалы, вопросы 1-3 не рассмотрены. Судя по работе <7> все вышеперечисленные вопросы в научных публикациях должным образом не рассмотрены.
.
О случайных и неслучайных совпадениях
Новгородская дендрошкала, характеризующая 884-1462 годы, построена по бревнам и плахам новгородских мостовых. Следовательно, последние годы отдельных дендрокривых характеризуют этапы строительства мостовых. В этих этапах присутствуют 1299, 1354, 1383, 1417 и 1420 годы. Эти годы соответствуют годам образования последних внешних колец у стволов деревьев из всех 5 церквей, по летописным датам основания которых выполнена абсолютная датировка новгородской дендрошкалы. Можно предположить, что это совпадение не случайно. Из этого следует другое предположение – о синхронности этапов строительства церквей и этапов строительства мостовой. Но этапы строительства мостовой являются, по сути, этапами ее приведения к уровню земной поверхности, постоянно повышающемуся в процессе жизни города. Возможно, и этапы строительства церквей являются этапами их перестройки под уровень городских улиц. Тогда, полученный из церквей материал не характеризует время их заложения. В совокупности последние годы дендрокривых, полученных из стволов деревьев мостовых и церквей характеризует этапы градостроительства – этапы приведения всего города (дорог, зданий и сооружений) к относительно возрастающему уровню земной поверхности.
.
О трудозатратах при построении дендрошкал
«Наиболее распространенным методом сравнения и синхронизации кривых в дендрохронологии является наложение двух кривых одна на другую. Чаще всего это делается сравнением на просвет одной кривой с другой.» <1>. Для реализации этого способа построения дендрошкал необходима исследовательская группа, включающая чертежника (вычерчивание дендрокривых на кальке), техника (пересчет графиков ширины годовых колец в графики их трансформант, построение графиков), и интерпретатора (сравнение и синхронизация дендрокривых). Трудозатраты при этом способе построения дендрошкал можно оценить как мизерные. Так новгородская дендрошкала протяженностью в 579 лет построена за один 1959 год. В связи с этим, утверждения того, что результаты дорогостоящего радиоуглеродного датирования учитывались при построении некоторых дендрошкал только для экономии времени <2, 3> выглядят не убедительными.
.
Об одной неувязке
В работе <1> говориться о новгородской дендрошкале 884-1462 годов. На специализированных сайтах <5, 6> опубликована дендрошкала 880-1461 годов. Что бы это значило?
.
Общий вывод
Новгородская дендрошкала является неотъемлемой частью системы под названием «Археология и история Новгорода». Она сразу строилась как часть этой системы и с целью ее развития. О независимости дендрошкалы не может быть и речи. Новгородская дендрохронология в целом и новгородская дендрошкала в частности характеризуют систему, но только как части, характеризующие целое. Если система «Археология и история Новгорода» противоречива, то эти противоречия будут отражены и в новгородской дендрошкале. Верно и обратное. Все возможные противоречия новгородской дендрохронологии будут характеризовать и систему.
.
Источники информации
1. Колчин Б.А., Черных Н.Б. Дендрохронология Восточной Европы. - М., "Наука", 1977. http://hbar.phys.msu.su/gorm/dating/kolchin.htm#1.10. Сайт «Хронология и хронография. История науки и наука история».
http://hbar.phys.msu.ru/gorm/wwwboard/index.htm.
2. Лаборатория дендрохронологии.
http://ipae.uran.ru/1institute/dendro.html. Сайт «Института экологии растений и животных» http://ipae.uran.ru/.
3. Левченко В. Радиоуглерод и абсолютная хронология: записки на тему. http://hbar.phys.msu.ru/gorm/dating/wally-1.htm. Сайт «Хронология и хронография. История науки и наука история».
http://hbar.phys.msu.ru/gorm/wwwboard/index.htm.

4. Носовский Г.В., Фоменко А.Т. Новая хронология Руси, Англии и Рима - Москва, 2001. http://www.chronologia.org/rusangl/rusangl.htm Сайт проекта «Новая Хронология».
5. Сайт Российские хронологии древестных колец. Банк данных.
6. Сайт Tree Ring. http://web.utk.edu/~grissino/itrdb.htm
7. Янин В.Л. "Зияющие высоты" академика Фоменко.
http://www.arc.novgorod.ru/second.php3? … anin99.txt Сайт «Археология Новгорода» http://arc.novgorod.ru/

Предисловие А.Т.Фоменко
.
Я - профессиональный математик и не имею специального художественного образования (рисовать меня научила моя мать Валентина Поликарповна). Однако в моей жизни был период (довольно продолжительный и закончившийся в конце 80-х годов), когда мне довелось проиллюстрировать некоторые математические книги, - как мои собственные, так и моих коллег-математиков, - графическими работами на темы математики. Таких монографий и учебников набралось довольно много - около двух десятков. Дело в том, что геометрическое воображение и интуиция играют огромную роль в современных математических исследованиях, в особенности, связанных с математической физикой, геометрией, топологией. Бывает так, что доказательство строгого математического факта удается сначала "разглядеть" лишь в неформальных геометрических образах, и только потом удается оформить как аккуратное логическое рассуждение. Оказалось также, что и при чтении лекций по математике часто бывает полезным проиллюстрировать сложное математическое доказательство неформальными изображениями. Это помогает студентам быстрее вникнуть в суть проблемы. В этом смысле многие мои графические работы имеют прикладной характер. Таким образом, именно математика и преподавание в МГУ привели меня в свое время к созданию графических работ. Это была попытка как бы сфотографировать изнутри увлекательный мир геометрии и топологии. Многие мои графические листы основаны на математических идеях и теоремах, либо изображают реальные физические процессы и важные математические понятия. В то же время часть моих работ возникла на границе математики и других областей знания и искусства. Таковы, например, мои работы, навеянные замечательным романом Михаила Афанасьевича Булгакова "Мастер и Маргарита". Некоторые мои графические работы вообще не связаны напрямую с математикой и отражают совсем другие мысли. Однако "математический налет" присутствует всюду и, вероятно, такая неожиданная комбинация ощущается зрителями. Мои графические и живописные работы многократно выставлялись на выставках, организованных в разные годы различными энтузиастами в научных и учебных центрах Москвы, Ленинграда (Санкт-Петербурга), Киева, Новосибирска, Свердловска и других городов. Мои персональные официальные выставки происходили также в художественных музеях Челябинска, Магнитогорска, Магадана. Голландское издательство Reidel (потом Kluwer) организовало большую персональную выставку в Амстердаме. Кроме подобных персональных выставок (всего их насчитывается около 100), работы участвовали в известных всесоюзных и международных выставках, например: "Ученые рисуют" (1982 г.) и "Время-пространство-человек" (1980 г.), экспонировавшихся во многих городах страны и за рубежом. На киностудии "Союзмультфильм" в 1988 году режиссером В.И.Тарасовым был создан с широким использованием моих работ получасовой мультфильм "Перевал" по повести К.Булычева. Довольно много работ было также использовано в двухсерийном телефильме Т.А.Лебедевой "Мир и война" (Центральное телевидение). Ввиду отсутствия специального художественного образования, я не ограничивал себя рамками какого-либо одного жанра. Возможно, определенное влияние оказали мои любимые художники Босх, Брейгель, Дюрер, Дали, Эшер, Беклин, хотя сознательного подражания им никогда не было. Все работы выполнены "от руки", то есть без использования компьютерной графики. Роман М.А.Булгакова очень глубок. В частности, в его части, говорящей о Христе, встречаются любопытные старинные сведения. Отметим, например, такой интересный штрих. По-видимому, подлинная дата распятия Христа в той или иной форме долго сохранялась в литературе, объявленной затем апокрифической. В частности, крещение Руси апостолом Андреем, - как считается, в самом конце X века, - иногда напрямую связывалось во времени с распятием Христа. Эту традицию и отразил М.А.Булгаков, литературно обработав многочисленные апокрифические сказания о Христе. М.А.Булгаков в последней, 32-й главе "Прощение и вечный приют" своего романа, рассказывает, что покидая Москву в конце 30-х годов (более точно, роман был завершен в 1940 году), Воланд со свитой посещает римского прокуратора Иудеи Понтия Пилата, одиноко отбывающего наказание на скале в пустынной местности. И тогда Маргарита, пораженная длительностью наказания Пилата, спрашивает Воланда: "ДВЕНАДЦАТЬ ТЫСЯЧ ЛУН за одну луну когда-то, не слишком ли это много?" Выражение "прошло столько-то лун" хорошо известно. Имеется в виду, что от какого-то события прошло некоторое число лунных месяцев, так называемых синодических месяцев. Такой месяц-"луна" равен 29,5 суток ["Советский Энциклопедический Словарь". - М., Советская Энциклопедия, 1984, с.792]. Но в таком случае получается, что от распятия Христа до 1940 года прошло 12000 лун, то есть 970,8 лет. Откладывая эту величину назад от 1940 года, года завершения романа М.А.Булгакова, получаем примерно 969 год н.э. Если же считать, что имелся в виду звездный лунный месяц, равный 27,3 суток [см. там же], то в качестве даты распятия Христа получится 1043 год н.э. Так или иначе, но традиция, - которую в слегка завуалированной форме озвучил М.А.Булгаков, - указывает на распятие Христа либо в конце X века, либо в XI веке. Конечно, отмеченное обстоятельство само по себе ничего не доказывает, однако в ряду фактов, становящихся теперь известными, оно становится вполне понятным. Подробности на эту тему см. в книге А.Т.Фоменко "Методы" (ХРОН2),гл.2:6 (М., "РИМИС", 2005). Но вернемся к иллюстрациям. Конечно, они не претендуют на какую-либо объективность, а отражают индивидуальное восприятие замечательного романа "Мастер и Маргарита". Сколько читателей - столько и мнений. Данные работы в значительной мере отражают то восхищение и уважение, которые возбудил роман среди студентов механико-математического факультета МГУ тех лет. Михаил Афанасьевич Булгаков - гениальный русский писатель, некоторые произведения которого были долго и незаслуженно замолчаны. Когда в СССР впервые стал готовиться к публикации его замечательный роман "Мастер и Маргарита", в издательских кругах обсуждалась идея снабдить его иллюстрациями. Возникла идея проведения неформального конкурса художественных работ. Для меня было приятной неожиданностью оказаться среди тех, кому предложили в нем участвовать, хотя я - математик, увлекавшийся в то время живописью, а не профессиональный художник. (К тому времени у меня было несколько выставок и некоторые работы были опубликованы). Для этого готовившегося издания "Мастера и Маргариты" я сделал несколько десятков иллюстраций. Однако по каким-то причинам конкурс не состоялся, и первое издание романа вышло вообще без иллюстраций. С тех пор прошло много лет. Роман был неоднократно переиздан, в том числе и с прекрасными иллюстрациями разных художников. Я очень рад, что могу теперь попытаться внести и свой вклад в память о замечательном писателе - М.А.Булгакове.
Академик Российской Академии Наук (РАН), действительный член РАЕН (Российской Академии Естественных Наук), действительный член МАН ВШ (Международной Академии Наук Высшей Школы), доктор физико-математических наук
А.Т.ФОМЕНКО
.
Следующая справка помещена в конце книги:
О ХУДОЖНИКЕ
.
ФОМЕНКО Анатолий Тимофеевич: 1945 года рождения, академик Российской Академии Наук (РАН), действительный член РАЕН (Российской Академии Естественных Наук), действительный член МАН ВШ (Международной Академии Наук Высшей Школы), доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой механико-математического факультета Московского государственного университета. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной Премии Российской Федерации 1996 года (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем; лауреат премии Московского Математического Общества и премии Президиума АН СССР. Автор 200 научных работ, 28 математических монографий и учебников, специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии древности и средневековья.

Суд Понтия Пилата

"И сейчас же с площадки сада под колонны на балконе двое легионеров ввели и поставили перед креслом прокуратора человека лет двадцати семи. Этот человек был одет в старенький и разорванный голубой хитон". (с.28)
МАТЕМАТИКА:
.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ.
Для вычисления групп гомологий, - топологических инвариантов полиэдров, - требуется предварительно разбить полиэдр в объединение "элементарных кусков". Например, симплексов. Идея выделения внутри исследуемого пространства простейших "блочных" структур и проиллюстрирована рисунком. Затем наступает алгебраический этап. Изучая примыкания друг к другу таких "блоков", вычисляются группы цепей с граничным оператором, что позволяет в итоге вычислить искомые инварианты.
МИФОЛОГИЯ
.
Ночной суд, военный трибунал, показательный процесс. Жрецы согнали народ наблюдать за процедурой. Легенда о последнем суде, который состоится в "конце времен". Его будет вершить вернувшийся Иисус. Каждый человек (из всех когда-либо живших) получит сообразно со своими делами либо райское блаженство, либо вечное наказание в аду. Каждую душу призовут на суд. Ее дела (добрые и злые) будут взвешены на весах перед лицом бога. Праведники, приветствуемые ангелами, поднимутся в рай, а грешников бесы отправят в ад. Этот сюжет постоянно разрабатывался в христианской иконографии и светской живописи (И.Босх и др.).

Беседа Понтия Пилата с Иешуа

"-Ну, хотя бы жизнью твоею, - ответил прокуратор, - ею клясться самое время, так как она висит на волоске, знай это... Я могу перерезать это волосок.
-И в этом ты ошибаешься, - светло улыбаясь и заслоняясь рукой от солнца, возразил арестант, - согласись, что перерезать волосок уж наверное может лишь тот, кто подвесил?" (с.40)
МАТЕМАТИКА:
.
Неустойчивое равновесие.

Заседание Синедриона, приговорившего Иешуа к казни

"Таким образом, к смертной казни, которая должна совершиться сегодня, приговорены трое разбойников: Дисмас, Гестас, Вар-равван и, кроме того, этот Иешуа Га-Ноцри" (с.49)
МАТЕМАТИКА:
.
СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ И НЕИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ДВИЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВИХРЕЙ.
Стационарный поток несжимаемой жидкости на плоскости может иметь какое-то количество вихрей, т.е. изолированных точек, в окрестности которых поведение жидкости становится вихреобразным.  Оказывается, если количество таких вихрей невелико, то соответствующая система дифференциальных уравнений интегрируется.  То есть, существуют дополнительные интегралы движения, решающие задачу. Напротив, если число вихрей достаточно велико (в общем случае, не меньше чем четыре), то система неинтегрируема. Это означает, что траектории частиц жидкости становятся чрезвычайно сложными и их движение похоже на хаотическое.
МИФОЛОГИЯ.
.
Из цикла "Трибунал". Выступление председателя военного трибунала с заключительным словом. Судьи и председатель видны вдали на наклонной галерее, пересекающей небо.

Пилат отдает приказ о казни Иешуа и двух преступников, однако в то же время пытается спасти Иешуа, пользуясь обычаем помилования одного из осужденных перед великим праздником. Однако Синедрион категорически отказывается удовлетворить пожелание Пилата и освобождает Вар-раввана. Пилату ничего не остается как утвердить приговор и объявить о нем на площади перед огромной толпой. "Великий врач" уходит от него безвозвратно. Эта мысль приводит Пилата в бешенство, усугубляемое его очевидным бессилием. Сцена объявления Пилатом приговора Иешуа и двум преступникам.
"Он выждал некоторое время, зная, что никакой силой нельзя заставить умолкнуть толпу, пока она не выдохнет все, что накопилось у нее внутри, и не смолкнет сама.
И когда этот момент наступил, прокуратор выбросил вверх правую руку, и последний шум сдуло с толпы.
Тогда Пилат набрал, сколько мог, горячего воздуха в грудь и закричал, и сорванный его голос понесло над тысячами голов:
-Именем кесаря императора!
Тут в уши ему ударил несколько раз железный рубленый крик - в когортах, взбросив вверх копья и значки, страшно прокричали солдаты:
-Да здравствует кесарь!" (с.58)
МАТЕМАТИКА:
.
ПОЛИЭДРЫ И СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ЦЕПИ. (АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ). Иллюстрируется такое важное понятие, как симплициальная цепь. То есть, объект составленный из "элементарных кирпичей", снабженных некоторыми числовыми коэффициентами. Такие цепи можно складывать и вычитать как элементы абелевой группы. Вводя понятие граничного оператора, можно вычислять границу цепи, а затем определить группы гомологий как фактор-группу группы циклов по подгруппе границ. Наглядно цепь можно представлять себе как произвольный набор блоков, снабженных числовыми метками.

Гибель Берлиоза

"Трамвай накрыл Берлиоза, и под решетку Патриаршей аллеи выбросило на булыжный откос круглый темный предмет. Скатившись, с откоса, он запрыгал по булыжникам Бронной.
Это была отрезанная голова Берлиоза". (с.68)

Мастер и Маргарита

"И вот, последнее, что я помню в моей жизни, это - полоску света в моей передней, и в этой полосе света развившуюся прядь, ее берет и ее полные решимости глаза. Еще помню черный силуэт на пороге наружной двери и белый сверток". (с.208).
МАТЕМАТИКА:
.
ГОМЕОМОРФИЗМ. Гомеоморфизм - одно из важнейших понятий топологии. Это - взаимно-однозначное, непрерывное в обе стороны отображение (соответствие). Наглядно его можно представлять как деформацию объектов, "сделанных из резины". При этом запрещены "разрывы" и "склейки".  Изображены две человеческие фигуры, слегка напоминающие композицию известной картины Рембрандта "Возвращение блудного сына". Однако этот классический образ угадывается далеко не сразу, поскольку композиция подвергнута гомеоморфизму, исказившему первоначальную картину практически до неузнаваемости. В этом - важное свойство гомеоморфизма - менять метрические (и, следовательно, легко узнаваемые) свойства объекта, но сохранять его топологические (не столь легко распознаваемые) свойства. На заднем плане видны оснащенные окружности, т.е. снабженные семейством нормальных реперов.
МИФОЛОГИЯ
.
Миф о близнецах - брате и сестре, вступающих в кровосмесительный брак (чаще всего в результате уговоров сестры), был распространен в древности. Например, египетский миф об Осирисе и Изиде, древнеиндийский миф о Яме и его сестре-близнеце Ями и т.д. Иногда этот брак начинается еще во чреве матери.  Древнейшая точка зрения усматривала родство между животными и близнецами. Нивхи (на Сахалине) хоронили мать близнецов в медвежьей клетке, а о самих близнецах говорили как о "зверях". Обряд убийства близнецов после их рождения был распространен в древности (сами близнецы и их родители считались опасными). Обычай отделения родителей близнецов от всего племени известен у многих народов Африки. Близнецы и их мать рассматривались как существа, соприкоснувшиеся со сверхъестественной силой и ставшие ее носителями. Английский исследователь Р.Харрис выдвинул гипотезу, что страх, который некогда внушали близнецы, согласуется с данными приматологии, указывающими на наличие у приматов тех же основных черт поведения по отношению к двойне. Мать двойни держится поодаль от обезьяньего стада, причем ее отгоняет в сторону вожак. Широко были распространены мифы о посягательстве близнецов на жизнь родителей.

Бегемот наблюдает за казнью Иешуа и двух преступников

Несколько намеков, разбросанных Булгаковым в тексте, позволяют предположить, что (по мнению Булгакова) Бегемот присутствовал при казни Иешуа. Вероятно, Бегемот присутствует и при ночной сцене разговора Пилата с Афранием, и на Лысой горе, и еще при нескольких узловых эпизодах, связанных с судьбой Иешуа и Пилата.
.
"Солнце уже снижалось над Лысой горой, и была эта гораоцеплена двойным оцеплением...
Жар еще был невыносим, и солдаты в обоих оцеплениях страдали от него, томились от скуки и в душе проклинали трех разбойников, искренне желая им скорейшей смерти." (с.239,241)

Казнь Иешуа и Марк Крысобой

Казнь началась после полудня и длилась уже долго. Страшная жара разогнала любопытствующих, и на Лысой Горе остались лишь осужденные и охраняющие их римские когорты, оцепившие вершину горы.
"Римская пехота на втором ярусе страдала еще больше кавалеристов. Кентурион Крысобой единственно что разрешил солдатам - это снять шлемы и накрыться белыми повязками, смоченными водой, но держал солдат стоя и с копьями в руках. Сам он в такой же повязке, но не смоченной, а сухой, расхаживал невдалеке от группы палачей, не сняв даже со своей рубахи накладных серебряных львиных морд, не сняв поножей, меча и ножа. Солнце било прямо в кентуриона, не причиняя ему никакого вреда, и на львиные морды нельзя было взглянуть, глаза выедал ослепительный блеск как бы вскипавшего на солнце серебра.
На изуродованном лице Крысобоя не выражалось ни утомления, ни неудовольствия, и казалось, что великан кентурион в силах ходить так весь день, всю ночь и еще день, - словом, столько, сколько будет надо. Все так же ходить, наложив руки на тяжелый с медными бляхами пояс, все так же сурово поглядывая то на столбы с казнимыми, то на солдат в цепи, все так же равнодушно отбрасывая носком мохнатого сапога попадающиеся ему под ноги выбеленные временем человеческие кости или мелкие кремни." (с.242)

Левий Матвей у подножия Голгофы

<<Теперь Левий Матвей безнадежно записал острой палочкой так:
"Бог! За что гневаешься на него? Пошли ему смерть">>. (с.245)
.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФАНТАЗИЯ: В композиции использованы элементы двумерной топологии и теории алгебраических поверхностей.
Ассоциативная связь с "молением о чаше" (Новый Завет). Согласно Евангелиям, Иисус перед своим арестом уединяется в Гефсиманском саду и умоляет Бога не подвергать его тяжкому испытанию.
.
"И, отойдя немного, пал на лице Свое, молился и говорил:
Отче Мой! если возможно, да минует Меня чаша сия: впрочем не как Я хочу, но как Ты." (Еванг. от Матфея.26:39).

Страдания Левия Матвея во время казни Иешуа

. "Он кричал о полном своем разочаровании и о том, что существуют другие боги и религии" (с.248)
.
МАТЕМАТИКА: ГОМЕОМОРФИЗМЫ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ. Изображены гомеоморфизмы, которым подвергается обычная человеческая фигура. Наглядно видно, что при этом все метрические соотношения разрушаются (меняются расстояния между точками, меняются углы), однако в целом фигура "узнаваема", так как остаются неизменными ее топологические характеристики.
.
МИФОЛОГИЯ. Согласно средневековой магии, "подобное производит подобное".  Эта идеология нашла применение в китайском веровании, будто на судьбу городов глубокое влияние оказывает их форма.  Город Цынчэ-фу, очертания которого напоминали карпа, часто становился жертвой нашествий жителей соседнего города Юнчунь, похожего по форме на рыболовную сеть. Это продолжалось до тех пор, пока жителям Цынчэ-фу не пришла в голову счастливая мысль возвести в центре два высоких храма. Они оказали благое влияние на судьбу города, "не позволяя" воображаемой сети опуститься и запутать воображаемого карпа. (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь). О влиянии формы городов на их судьбу говорит и европейская средневековая астрология.

Распятие

"Счастливее двух других был Иешуа. В первый же час его стали поражать обмороки, а затем он впал в забытье, повесив голову в размотавшейся чалме. Мухи и слепни поэтому совершенно облепили его, так что лицо его исчезло под черной шевелящейся массой. В паху, и на животе, и под мышками сидели жирные слепни и сосали желтое обнаженное тело". (с.250)
.
МАТЕМАТИКА: РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ ФУНКЦИИ w=(1-z^2)^(1/4) Римановы поверхности алгебраических функций - это двумерная вещественная поверхность в четырехмерном евклидовом пространстве, на которой данная функция однозначна. Теория римановых поверхностей важна не только для комплексного анализа, но и для теории Галуа. Иллюстрируются свойства 4-значной функции w=(1-z^2)^(1/4) . Если положить w=u+iv и z=x+iy, то вещественная и мнимая части этой функции определяют одну и ту же поверхность.  Ее уравнение (записанное относительно u) выглядит так:
256u^(16) - 128u^(12)[-x^2 +y^2 +1] - 16u^8[7(x^4 +y^4 -2x^2 +2y^2 +1) + 20x^2 y^2] - 8u^4 [2(x^4 +y^4 -2x^2 +2y^2 +1) + 3x^2 y^2][-x^2 + y^2 +1] + x^4 y^4 =0.
Видны 4 слоя поверхности, лежащие один над другим с точками ветвления z=+1 и z=-1.
МИФОЛОГИЯ. Металлический храм. Средневековые европейские алхимики верили в связь семи металлов с семью основными планетами-божествами. Медь - это Венера, золото - Солнце, железо - Марс, свинец - Сатурн, ртуть - Меркурий, серебро - Луна, олово - Юпитер. Металл рассматривался как символ подземного царства.  Гномы - хранители и знатоки металлов, создатели подземных кузниц и металлических кладов подземелья. Где-то глубоко под землей, в пещере ими построен металлический храм из семи металлов.  "Геральдические" металлы средневекового рыцарства - это серебро с гладкой поверхностью, золото с особой "точечной" обработкой и железо с черной поверхностью. Миф о четырех веках: золотом, серебряном, медном и железном. Подземный металлический храм - это ку'зница, где гномы готовят неуязвимую броню для богов. В индийской мифологии из чистого серебра сделана небесная крепость Асур, откуда асуры делали свои враждебные вылазки, пока бог Шива не уничтожил их.