МАТЕМАТИКА:
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Условно показано упорядоченное движение заряженных частиц, обладающих спином (грубо говоря, вращательным движением). При наложении внешнего поля некоторые частицы ориентируются примерно одинаковым образом, выстраиваются вдоль линий поля.
.
МИФОЛОГИЯ.
Одно из древних табу запрещало богочеловеку касаться земли ногами. Это предписание распространялось, в частности, на верховного жреца сапотеков в Мексике. Любое его прикосновение к земле было равносильно профанации его святости.  Никогда не ступала на землю нога правителя Мексики Монтесумы:  знатные ацтеки постоянно носили его на своих плечах. А в местах, где их повелитель сходил на землю, подстилали ему под ноги роскошный ковер. Прикосновение к земле считалось неслыханным позором для микадо. В XVI веке из-за такого проступка микадо был лишен трона. Согласно старинному брахманскому ритуалу, при восшествии на престол царь наступал на шкуру тигра и на золотое блюдо. С этого момента он на всю остальную часть жизни лишался права ступать по земле босыми ногами. Как отмечал Дж.Дж.Фрэзер, первобытные лидеры понимали святость, присущую священным лицам, как некую материальную субстанцию, которым священное лицо заряжено как лейденская банка. При соприкосновении с землей весь этот заряд может уйти из богочеловека, так как земля считалась отличным проводником магических флюидов.

МАТЕМАТИКА:
КАРТИНА ОБТЕКАНИЯ ШАРА НАБЕГАЮЩИМ ПОТОКОМ ГАЗА

Показаны некоторые эффекты, связанные с движением тяжелого твердого тела (например, шара) в набегающем потоке жидкости или газа. При небольших скоростях обтекание шара происходит плавно. Если же скорость возрастает, то в потоке появляются завихрения. Есть различные математические модели, позволяющие изучать и прогнозировать эти явления. Это важно при проектировании летательных аппаратов. Движение тяжелого твердого тела в идеальной жидкости (газе) описывается уравнениями, которые можно изучать методами теории групп Ли и гамильтоновой геометрии. Интересно, что эти уравнения являются частным случаем более общих, "многомерных" уравнений, описывающих движением многомерных аналогов твердого тела (в многомерных пространствах).
.
МИФОЛОГИЯ.
Легенда о богах, воплощавшихся в каменных шарах, плавающих в небе и иногда спускающихся ниже к земле, чтобы вступить в контакт с поклоняющимися им людьми. Однако смертельно опасно попасть в тень такого шара. Легенда о "мировом яйце". Орфический миф о возникновении из яйца, плавающего в космосе, - Фанеса, божественного творца, сияющего как солнце. В египетском мифе солнце появляется из яйца, снесенного птицей Гоготун. Зритель видит момент, когда из трещин лопающегося яйца начинает вырываться сияние заключенного в нем солнца.

МАТЕМАТИКА:
КАЧЕНИЕ И СКОЛЬЖЕНИЕ

Катящиеся или скользящие диски, пластины, коньки, лезвия бритв - различные примеры механических систем, среди которых важное место занимают так называемые неголономные системы, или системы с неголономными связями. Классический пример - скольжение конька по льду. Здесь скольжение ограничено условием, что конек не может перемещаться в направлении, ортогональном его лезвию. На математическом языке это означает, что наложенная на конек связь выражается дифференциальной формой, которой соответствует неинтегрируемое распределение. Рисунок показывает скольжение (или качение) похожей механической системы: остро заточенного "диска" с краем сложной конфигурации. Исследование траекторий движения таких систем - нетривиальная математическая задача.
.
МИФОЛОГИЯ.
Колеса Балсага - образ из осетинского эпоса. Дочь Балсага (дочь солнца) оскорблена Сосланом и просит отца отомстить ему. Балсаг посылает против Сослана огромные, все сокрушающие колеса. Охваченные пламенем, они несутся с неба на землю, обращая в пепел деревья, встречающиеся на пути. Все препятствия рушатся под ударами колес. Сослан просит деревья преградить путь колесу Балсага и лишь хмелю удается обвиться вокруг колеса и остановить его. Однако вскоре колесо Балсага повторяет свою попытку и когда Сослан отдыхал после охоты, оно настигло его, перебило колени и убило героя. Мотив гигантского колеса известен во многих культах. Широко распространен индоевропейский сюжет о состязании двух героев: солнечного (весеннего) героя и зимнего героя. Солнечный персонаж появляется в виде колеса, которое катится с горы и убивает противника. В индийском мифе солнечный бог Сурья во время состязания теряет колеса своей колесницы, которыми затем бог Индра убивает демона и т.д. До недавнего времени у многих народов Европы сохранялся праздник сжигания колес, как воспоминание о древних солнечных ритуалах.

МАТЕМАТИКА:
ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ

Показана система "зеркал" в трехмерном пространстве, отражения относительно которых образуют дискретную группу. Этот класс групп (существующих и в многомерных пространствах) играет важную роль в геометрии, математической физике. Например, описание специального класса таких групп дает классификацию всех простых групп Ли. Так как каждое зеркало (т.е. гиперплоскость, проходящая через начало координат) однозначно задается своим вектором единичной нормали, то все свойства группы, порожденной отражениями, можно сформулировать в терминах векторов-нормалей к зеркалам. Интересны группы, порожденные отражениями в зеркалах, расположенных в многомерном пространстве Лобачевского. В некоторых случаях фактор-пространство пространства Лобачевского по действию такой группы является компактным гиперболическим многообразием конечного объема. Исследование таких многообразий - актуальная проблема современной гиперболической геометрии.
.
МИФОЛОГИЯ.
Якобы, среди "древне"-египетских храмов был "зеркальный храм", внутри которого все стены, потолки и т.п. были сделаны из зеркал. Он использовался для испытания жрецов. Под действием специального заклинания душа испытуемого покидала тело и начинала странствовать по храму, бесконечно отражаясь в тысячах зеркал. Обратный путь душа могла найти лишь в том случае, если боги решали, что она - чиста.
Другая ассоциация - райский сад, гигантский цветок в саду Эдема. В этом саду - фантастические растения, храмы, Золотой и Серебряный города.  Материалы, из которых выстроен Рай, светоносны. Они уподобляются то чистому золоту, то прозрачному стеклу, то кристаллам, то самоцветам.  Храм построен в виде цветка мандрагоры.  Считалось, что этот цветок хранит возбуждающую силу, вызывает любовное влечение. В то же время его называли "свечой дьявола" (якобы, светится по ночам в определенные дни), "цветком ведьмы". В средние века процветала индустрия изготовления поддельных мандрагоровых корней - важнейшей части растения.

МАТЕМАТИКА:
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ МОЖЕТ СТРЕМИТЬСЯ К НУЛЮ, А "ПРЕДЕЛ" ПОВЕРХНОСТИ МОЖЕТ СОВПАСТЬ СО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВОМ

Поверхность, гомеоморфная двумерной сфере и расположенная в трехмерном пространстве, может деформироваться таким образом, что ее площадь стремится к нулю, однако "пределом" сферы будет все объемлющее пространство. При этом из сферы будут вытягиваться утончающиеся отростки-щупальца, площадь которых стремится к нулю, но их "длина", напротив, стремится к бесконечности.
.
МИФОЛОГИЯ.
Хуракан (Ураган) - "одноногий" - один из главных богов в мифологии киче. Творец и повелитель мира, владыка гроз, ветров и бурь. Простой смертный не может остаться в живых, если увидит "глаз Хуракана" ("глаз урагана").  Сторукие - это чудовища, порожденные богами Геей и Ураном.  Сторуких - трое. Это Котт, Бриарей и Гиес. У каждого из них по пятьдесят голов и сто рук. Сам Уран, ужаснувшись видом своих страшных потомков, погрузил их в недра земли. Отсюда они были вызваны лишь Зевсом, дабы помочь ему одержать победу над восставшими титанами. Поднявшиеся из-под земли сторукие сокрушили титанов. Затем снова погрузились в тартар, чтобы там охранять низверженных титанов. Сторукие внушают страх даже богам.  Например, когда Гера, Посейдон и Афина задумали заговор против Зевса, тому достаточно было лишь обратиться к сторуким. Один их вид шокировал противников Зевса и они поспешно ретировались.

МАТЕМАТИКА:
ОРБИТА ДЕЙСТВИЯ БЕСКОНЕЧНОЙ ГРУППЫ

Говорят, что на пространстве задано действие группы, если ее элементы представлены как гомеоморфизмы пространства. Другими словами, задан мономорфизм группы в группу всех гомеоморфизмов пространства. Изображен важный объект, естественно связанный с такими действиями. А именно, - орбита данной группы.  Рассмотрим какую-либо область в пространстве, например, - ромбовидный полиэдр на рисунке.  Применим к ней все элементы бесконечной группы. В результате может получиться последовательность полиэдров, "повторяющих" друг друга. Это и есть орбита данного полиэдра при действии группы. Если полиэдр таков, что его образы "хорошим образом" покрывают все пространство (пересекаясь друг с другом лишь по границе), то его называют фундаментальной областью данной группы.
.
МИФОЛОГИЯ.
Скала Атлант, поддерживающая небесный свод на западе. Персей, показав голову Горгоны титану Атланту, превратил его в скалу. Превращение людей в камни - распространенный вид метаморфоз в мифах Южной Азии, Австралии, Океании, Южной Америки.  Люди превращаются в камни или в каменные изваяния либо в момент смерти, либо по приказу богов. Знаменитый греческий миф о Горгонах - чудовищных порождениях морских божеств Форкия и Кето. Две старшие сестры Горгоны - бессмертные, а младшая - Медуза - смертная. Обитают на крайнем западе рядом с Гесперидами, имеют ужасный вид: крылатые, с чешуей, со змеями вместо волос. Их взор обращает все живое в камень.  Персей победил Медузу лишь потому, что смотрел на ее отражение в своем зеркальном щите.  Считалось, что отраженный взгляд менее опасен, чем взгляд в упор.

МАТЕМАТИКА:
ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ И НЕОРИЕНТИРУЕМОСТЬ МНОГООБРАЗИЙ

Изображена цепочка фигур, каждая из которых держит в руках раскаленный шар. Цепочка образует замкнутую петлю. Если на многообразии нарисовать замкнутый непрерывный путь, то можно "протащить" вдоль него репер, то есть набор касательных векторов, образующих базис в касательной плоскости. Если репер вернется в исходную точку с противоположной ориентацией, значит многообразие неориентируемо. Задание репера эквивалентно заданию ориентации шара малого радиуса, лежащего в многообразии.  Другими словами, вместо непрерывной деформации репера вдоль пути можно "прокатить" шар. А затем сравнить его исходную ориентацию с той, какая появится на нем после однократного обхода петли.
.
МИФОЛОГИЯ.
Древний обряд магического управления солнцем для прекращения засухи. Весь народ выстраивался в длинную шеренгу, причем каждый держал зеркало или полированный (зеркальный) шар. Считалось, что отраженные зеркалами лучи возвратятся к солнцу и оно ослепнет на время и прекратит сжигать страну. Жрец руководил ритуалом.

МАТЕМАТИКА:
ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ МНОГООБРАЗИЙ. I

Юмористические сценки из жизни двумерных и трехмерных многообразий. В частности, показаны операции Дена - "скручивания". Шар с "ушками". Рояль с цветком.

МАТЕМАТИКА:
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ

В первом приближении считается, что планеты солнечной системы, астероиды и т.п. движутся в одной плоскости, называемой плоскостью эклиптики. Центр масс всей системы можно считать совмещенным с Солнцем. Движение системы управляется ньютоновским потенциалом, согласно законам классической механики.  Эволюция системы определяется начальными данными.  Надо задать положения гравитирующих масс и их скорости в начальный момент времени. Общие решения такой системы уравнений сложны. Еще более сложна задача описания движения многих тел, движущихся в трехмерном пространстве, но не обязательно расположенных в одной плоскости (под влиянием потенциала общего вида).  На рисунке каждое твердое тело условно изображено в виде птицы, парящей не по собственному желанию, а в соответствии со взаимным притяжением со стороны других "птиц".  Вся система вращается вокруг общего центра масс.  Некоторые тела могут удаляться от него, а некоторые - приближаться, или даже "падать" на центр масс.  Задача многих тел является одной из самых интересных задач. Здесь встречаются такие области знания, как геометрия, небесная механика, дифференциальные уравнения.
.
МИФОЛОГИЯ.
Гарпии, во'роны, гаруды. Гарпии - архаические доолимпийские божества - крылатые дикие женщины-полуптицы безобразного вида. В мифологии Греции - похитительницы детей и человеческих душ, внезапно налетающие и так же стремительно исчезающие. Связаны с ветрами и бурями. Гаруды в буддийской мифологии - огромные птицы, крылья которых порождают ураган.  Иногда гаруды принимают человеческий облик. Во'роны связаны с царством мертвых, с жестоким битвами. Часто выступают как мудрые птицы, но всегда как вестники зла. В средневековой христианской традиции во'рон - олицетворение сил ада и дьявола.  Умение во'рона подражать человеческой речи породило представление о нем как о вестнике богов.

МАТЕМАТИКА:
ТЕОРЕМА О ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУППАХ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Фундаментальная группа "измеряет" число различных, неэквивалентных замкнутых петель, которые можно "нарисовать" на многообразии. Вопрос: какие группы могут быть представлены как фундаментальные группы гладких многообразий? Для многообразий размерностей 1 и 2 ответ прост. Такие группы описаны и изучены. В размерности 3 известно, что не всякая группа может быть представлена как фундаментальная группа замкнутого трехмерного многообразия. Начиная с размерности 4 ситуация меняется. Оказывается, любая конечно-порожденная группа (т.е. группа с конечным числом образующих и конечным числом соотношений) может быть реализована как фундаментальная группа некоторого четырехмерного гладкого компактного связного замкнутого многообразия. Зритель видит один из центральных шагов доказательства.  Сначала строятся так называемые "ручки индекса 1", реализующие образующие данной группы. Трубчатые окрестности таких ручек изображены внизу в виде последовательности лепестков, уходящих вдаль.  Затем нужно приклеить к этому пространству "ручки индекса 2", реализующие соотношения в данной группе. Одна из таких ручек показана в центре рисунка.
.
МИФОЛОГИЯ
Сосуд Пандоры или космическое яйцо. Пандора в греческой мифологии - первая женщина, созданная Афиной и Гефестом. По замыслу Зевса она должна была принести людям несчастья и соблазны. Когда Пандора открыла сосуд, врученный ей богами, болезни и несчастья, людские пороки и соблазны расползлись по земле. Перепуганная Пандора захлопнула крышку, но при этом на дне сосуда осталась надежда. Так люди были лишены даже надежды на лучшую жизнь. Другая версия мифа: гигантское космическое яйцо (в индийской мифологии), разбившееся в космосе. Из него вытек весь видимый мир, включая все несчастья. Из верхней половинки яйца образовалось набо, из нижней - земля.

МАТЕМАТИКА:
РЯДЫ ФУРЬЕ

Каждая "достаточно хорошая функция" может быть разложена в ряд Фурье. Это означает, что функция аппроксимируется частичными суммами сходящегося ряда, составленными из гармоник. Чем больше мы берем членов этого разложения, тем более высокочастотные гармоники появляются на графике аппроксимирующей частичной суммы.  По мере удлинения суммы, на графике возникают все более мелкие гармоники.
.
МИФОЛОГИЯ
Гибель Ахилла в Троянской войне. Неуязвимый Ахилл погибает от стрел Париса, направляемых Аполлоном. Первая стрела поражает его в пяту, а вторая - в грудь. Пятка Ахилла - это единственное место на его теле, которое не было намазано амброзией и закалено в огне. Мать Ахилла Фетида стремилась сделать своего сына неуязвимым и, следовательльно, бессмертным.  Но ей не удалось закалить все тело своего сына. По другой версии Фетида окунула Ахилла в воды подземной реки Стикс и только пятка, за которую она держала ребенка, осталась уязвимой.  Именно поэтому и погиб Ахилл.

МАТЕМАТИКА:
НЕОРГАНИЗОВАННЫЙ ХАОС И ГЕОМЕТРИЯ

Хаотическое падение бесконечного числа блоков. В то же время этот хаос мог возникнуть при разрезании на элементарные куски "хорошо устроенного" полиэдра.  Так как полиэдр можно разбить на большое число "малых кусков", он превращается в кажущееся хаотическим скопление "параллелепипедов". Как восстановить полиэдр?  Для этого достаточно, чтобы каждый элементарный блок "помнил" лишь своих соседей, с которыми он граничил внутри исходного полиэдра. Записывая на гранях каждого блока сведения о его соседях, мы получаем матрицы инциденций. Поэтому в случае необходимости все блоки могут снова собраться вместе и восстановить исходный объект.
.
МИФОЛОГИЯ
Тартар в "древне"-греческий мифологии находится где-то в глубине космоса, даже ниже аида. Тартар на столько отстоит из аида, на сколько земля от неба. Если бросить медную наковальню с неба на землю, то она долетит до земли за девять дней. Столько же потребуется ей, чтобы долететь от аида до тартара.  Ясно, что немало дней потребуется той же наковальне, чтобы перед этим добраться от земли до аида.  Тартар огорожен медной стеной, и стеной огня. Ночь окружает его в три ряда. Тартара боятся даже боги. Вдоль стены, окружающей тартар, постоянно ревет ураган. Здесь залегают корни земли и моря, все концы и все начала. За медной дверью томятся боги - отцы богов олимпийцев - под охраной угрюмых сторуких стражей.

МАТЕМАТИКА:
ГАУССОВЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. II

Изображены различные типы колоколообразных кривых, моделирующих нормальное распределение. Эти холмы и горы образованы непрерывно падающими с неба брусьями, рельсами, каменными блоками. В центре показано начало процесса. Го'ры на горизонте образовались в результате длительного падения брусьев. Меняя параметр "сигма", мы меняем форму колоколообразной кривой. Большие совокупности хаотических, случайных событий могут изучаться точными математическими методами: "от хаоса к порядку".
.
МИФОЛОГИЯ
Известный сказочный мотив: чтобы заслужить любовь принцессы и получить ее руку, герой должен преодолеть многочисленные препятствия. Отправиться в далекую страну, спастись от покушений врагов на его жизнь, взобраться на высокую гору, найти клад, поймать выпорхнувшую их него птицу, убить ее, извлечь яйцо, а из него - иголку. Сломать ее, уничтожить дракона, охраняющего заветный меч и т.д. и т.п. На рисунке зритель видит могучего героя в задумчивости в начале его тяжелого пути: стоят ли полцарства и любовь принцессы таких трудов?

МАТЕМАТИКА:
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА "пи" и "e". I

На передней стене монумента изображено десятичное разложение числа "пи":
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944...
Каждой цифре отвечает свой квадратик, содержащий несколько черных кругов (пятен). Число кругов равно соответствующей цифре. После того, как первая строка закончилась, десятичное разложение перепрыгивает в начало второй строки и т.д.  На боковой стороне монумента аналогичным образом изображено начало десятичного разложения другого замечательного числа, а именно, числа "е":
2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669...
Такие десятичные разложения применяются как датчики случайных чисел. Они используются в теории кодирования. Вычисление последовательных цифр десятичного разложения - интересная задача, решаемая при помощи компьютеров.  Зритель может увидеть здесь пример фрактала, т.е. замкнутого подмножества плоскости, размерность которого выражается дробным числом (не целым!). Один из способов получения таких множеств - это последовательное выбрасывание из плоскости открытых непересекающихся дисков, постепенно уменьшающихся в размерах. Выбрасывать надо так, чтобы "остаток" (аналог классического канторова множества) имел бы ненулевую хаусдорфову размерность.
.
МИФОЛОГИЯ
Число - это одно из самых глубоких понятий, выработанных мыслителями. Чи'слам и их толкованию придавалось огромное значение в научных и философских средневековых системах. Раньше цифры обозначались буквами, что открывало дополнительные возможности при истолковании чисел. Подставляя вместо цифр соответствующие им буквы, получали разнообразные слова.  Хорошо известны разнообразные толкования числа 666 и т.д.  Средневековая схоластика, интерпретировавшая таким образом некоторые средневековые тексты, превратилась в результате в рафинированную "науку".