Новейшая Доктрина

Новейшая доктрина

Информация о пользователе

Привет, Гость! Войдите или зарегистрируйтесь.


Вы здесь » Новейшая доктрина » Новая хронология » А.Т.ФОМЕНКО МАТЕМАТИКА И МИФ СКВОЗЬ ПРИЗМУ ГЕОМЕТРИИ


А.Т.ФОМЕНКО МАТЕМАТИКА И МИФ СКВОЗЬ ПРИЗМУ ГЕОМЕТРИИ

Сообщений 1 страница 30 из 241

1

http://s58.radikal.ru/i160/1210/0b/0a356ccf7be7.gif

2

А.Т.ФОМЕНКО
МАТЕМАТИКА И МИФ СКВОЗЬ ПРИЗМУ ГЕОМЕТРИИ

.
Посвящается моим родителям Валентине Поликарповне и
Тимофею Григорьевичу Фоменко
ОГЛАВЛЕНИЕ
.
ВВЕДЕНИЕ.. Геометрические образы и ассоциации в математике
Ю.И.Манин. ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ
.
1. Образы в топологии
2. Образы в теории многообразий
3. Образы в математическом анализе
4. Образы в теории дифференциальных уравнений и физике
5. Образы в вариационном исчислении
6. Образы в  алгоритмической  и  компьютерной геометрии
7. Образы в общематематических концепциях
144-163 164-183 184-203 204-222 223-229
Роман М.А.Булгакова "Мастер и Маргарита"
.
Иллюстрации 1-20
Иллюстрации 21-40
Иллюстрации 41-60
Иллюстрации 61-72
Работы А.Т.Фоменко на сайте virtualmathmuseum.org
Статья о творчестве А.Т.Фоменко на сайте о творчестве ученых ARTS & SCIENCES wumath.wustl.edu

ВВЕДЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ И АССОЦИАЦИИ В МАТЕМАТИКЕ

.

Геометрическое воображение и интуиция играют огромную роль в современных математических исследованиях, в особенности, связанных с математической физикой, геометрией, топологией. Во многих глубоких научных математических работах, посвященных сложным вопросам, - например, в многомерной геометрии, в вариационном исчислении и т.п., - активно используется "наглядный жаргон", выработавшийся при исследовании двумерных и трехмерных образов. Что-то вроде - "разрежем поверхность", "склеим листы поверхности", "приклеим цилиндр", "вывернем сферу наизнанку", "присоединим ручку" и проч. Такая, - на первый взгляд "ненаучная" терминология, - отнюдь не прихоть математиков. Скорее, - "производственная необходимость". Математическое мышление довольно часто вынуждено опираться на неформальные образы, поскольку это необходимо при поиске доказательств многих технически трудных результатов. Бывает так, что доказательство строгого математического факта удается сначала "разглядеть" лишь в неформальных геометрических образах, и только потом удается оформить его как аккуратное логическое рассуждение.
.
У каждого профессионального математика со временем вырабатываются свои собственные представления о внутренней геометрии известного ему математического мира. А также - о наглядных образах, с которыми у него ассоциируются те или иные абстрактные математические понятия из алгебры, теории чисел, математического анализа. Оказывается, - и это чрезвычайно интересно, - что у разных математиков одни и те же абстракции часто рождают очень похожие (иногда практически тождественные!) геометрические представления. Причем эти образы "реально существуют", проявляясь в общении математиков и помогая им лучше понять друг друга.
Графический материал, предлагаемый читателю, это - попытка как бы сфотографировать изнутри своеобразный мир современной математики. Все рисунки либо основаны на конкретных математических конструкциях, идеях, теоремах, либо изображают реальные математические объекты и процессы, либо отражают абстрактные математические понятия, например, бесконечность, непрерывность, гомеоморфизм, гомотопию и т.п.
В настоящей книге собраны работы, выполненные автором в разные годы (большей частью - с 1967 по 1983 гг.). Автор многие годы читает в МГУ обязательный курс "Дифференциальная геометрия и топология", а также специальные курсы по современной геометрии и приложениям. Поэтому по собственному опыту знает, как полезно иногда проиллюстрировать сложное математическое понятие неформальным рисунком. Это помогает студентам быстрее вникнуть в суть проблемы. В этом смысле многие мои графические работы имеют прикладной характер. Не следует думать, что они идеально соответствуют своим математическим "прототипам". Сюжет каждой работы построен на сугубо субъективных ассоциациях и передает лишь авторское ви'дение математического "персонажа". Надо отдавать себе отчет в объективных трудностях, возникающих на этом пути. Невозможно (да и не нужно) идеально точно нарисовать на плоском листе бумаги объект, "живущий", скажем, в семимерном пространстве. Ведь мы привыкли лишь к трехмерным (и двумерным) образам. Поэтому, "семимерный персонаж" поневоле искажается, будучи принудительно помещен в трехмерное пространство. Приходится жертвовать точностью в пользу наглядности.
.
Многие работы выполнены в шутливом тоне.  Я не сдерживал себя, когда удавалось придать рисунку юмористический колорит. Кроме того, многие работы апеллируют скорее к эмоциям зрителя, чем к рациональной стороне его мышления.
.
Возникла мысль снабдить графические работы математическими и нематематическими комментариями. Кроме математики, почти все работы отражают еще один, "второй слой" информации. Речь идет о внематематических ассоциациях, возникавших у автора в процессе работы. Они оказались разнообразными. То это шутка и желание увидеть в "сфере с пятью ручками" забавное необычное существо, то - гротеск, искажающий привычные пропорции и масштабы.  То - это воспоминания о каких-то средневековых мифах. Чтобы не загромождать комментарии, ссылки на источники, содержащие те или иные мифы, опущены. Приводя фрагменты тех или иных мифов, автор устраняется от их оценки. Миф интересен тем, что отражает представления наших предков. Конечно, сегодня многие из легенд представляют всего лишь литературный интерес. Много  интересных мифов собрано в книге Дж.Фрезера "Золотая ветвь".
Несколько слов о предыдущих публикациях и выставках этих работ. Первым авторским опытом в области графической визуализации сложных современных математических понятий были иллюстрации к книге Д.Б.Фукса, А.Т.Фоменко, В.Л.Гутенмахера "Гомотопическая топология", изд-во МГУ, 1967, 1968 и 1969 гг. Она пользовалась большой популярностью среди математиков. Определенную роль в этом сыграли и иллюстрации. Этот цикл работ (в расширенном виде, около 40 иллюстраций) вошел затем в большую монографию А.Т.Фоменко, Д.Б.Фукса "Курс гомотопической топологии", М. Наука, 1989.
В 1990 году Американское Математическое Общество издало мою книгу-альбом "Mathematical Impressions", включающую 84 работы (из которых 23 выполнены в цвете), снабженные математическими комментариями, кратко разъясняющими сюжеты работ. Это было высококачественное издание крупного формата.
Следующим шагом можно считать книгу автора "Наглядная геометрия и топология", Москва, изд-во МГУ, 1993. В 1994 году она была переведена на английский язык издательством Springer.
.
Ряд работ был опубликован во многих математических книгах других математиков, по их просьбе. Назову здесь лишь:
1) прекрасные монографии американского математика Н.Коблитца "A Course in Number Theory and Cryptography", "Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms", "P-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions" (Springer-Verlag),
2) книгу выдающегося российского математика, члена-корреспондента РАН, А.Н.Ширяева "Probability" (Springer-Verlag),
3) совместную книгу французского математика Жакода и Ширяева "Limit theorems for stochastic processes" (Springer-Verlag),
4) совместную книгу известных математиков: российского - В.В.Калашникова и болгарского - С.Т.Рачева, "Математические методы построения стохастических моделей обслуживания" (Наука),
5) пользующуюся большой популярностью книгу российских математиков Ю.Г.Борисовича, Н.М.Близнякова, Я.А.Израилевича и Т.Н.Фоменко "Введение в топологию" (несколько изданий: Высшая школа, Мир, Наука, затем голландское изд-во Kluwer),
6) уникальную книгу болгарского математика Й.Стоянова "Counterexamples in Probability" (John Wiley & Sons) и другие.
.
Кроме того, много моих графических работ было опубликовано в разные годы в центральных газетах и журналах. В частности, в газетах "Советская культура", "Комсомольская правда", "Социалистическая индустрия", "Московские новости", "Вечерний Клуб" и др., а также в журналах "Наука и жизнь", "Техника и наука", "Химия и жизнь", "Наука и религия", "Техника молодежи", "Культура и жизнь", "Квант", "Советская жизнь", в ежегоднике "Наука и человечество" и др. Много публикаций появилось также в зарубежной специальной и научно-популярной прессе. Например, в американском журнале "The Mathematical Intelligencer".
Работы многократно выставлялись на выставках, организованных в разные годы (в основном, на общественных началах, по просьбам зрителей) в научных, учебных, производственных центрах Москвы, Ленинграда, Киева, Новосибирска, Свердловска и других городов. Мои персональные официальные выставки происходили также в художественных музеях Челябинска, Магнитогорска, Магадана. Голландское издательство Reidel (сейчас - Kluwer) организовало персональную выставку в Амстердаме. Кроме перечисленных персональных выставок (их насчитывается более 100), работы участвовали в известных всесоюзных и международных выставках "Ученые рисуют" (1982 г.) и "Время-пространство-человек" (1980 г.), экспонировавшихся во многих городах страны и за рубежом.
На киностудии "Союзмультфильм" в 1988 году режиссером
В.И.Тарасовым был создан с использованием моих работ получасовой мультфильм "Перевал" по повести К.Булычева. Довольно много работ было также использовано в двухсерийном телефильме Т.А.Лебедевой "Мир и война" (Центральное телевидение).
Ввиду отсутствия специального художественного образования, автор не ограничивал себя рамками какого-либо одного жанра. Возможно, определенное влияние оказали мои любимые художники Босх, Брейгель, Дали, Эшер, Беклин, Дюрер, хотя сознательного подражания им никогда не было. Все рисунки выполнены "от руки", без использования компьютерной графики.
Работы сгруппированы приблизительно по темам, которые указаны в названиях параграфов. Комментарии устроены так. Сначала идет математический слой, затем - внематематические ассоциации.
.
Ю.И.МАНИН. ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ
.

(МАНИН ЮРИЙ ИВАНОВИЧ: член-корреспондент РАН, член многих иностранных академий, включая Академию Наук Ватикана, директор математического ин-та им.Макса Планка (Бонн, Германия), главный научный сотрудник математического ин-та им. В.А.Стеклова (РАН, Москва), лауреат премии Московского математического общества (1963), лауреат Ленинской премии за работы по алгебраической геометрии (1967), лауреат международной золотой медали Брауера за работы по теории чисел (1987), лауреат международной премии Фредерика Ессера Неммерса (1994).)
.
Автокомментарий, которым снабжен каждый лист А.Т.Фоменко, избавляет меня от необходимости разбирать отдельные работы: моя задача - указать общий для них контекст.
Самый широкий контекст - несомненно, цивилизация, в культурологическом употреблении этого слова, когда оно противопоставляется не только природе, но и культуре.
Цивилизация как образ жизни общества есть процесс, предполагающий совокупность высоко специализированных общественных действий, создающих сложные искусственные структуры, которые обречены на распад или окаменение, будучи извлеченными из своей цивилизации.
Основной материальной структурой цивилизации является Город.
Он же, в философском плане, является основной идеологемой, с которой соотносятся все проявления духовной жизни общества. Отношение к Городу может меняться в очень широких пределах, утопические пректы голубых городов будущего могут сосуществовать с призывами вернуться к почвенным ценностям, но Город неизменно находится в центре всех разнонаправленных тенденций развития цивилизации. Он питает индустрию, идеи прогресса и утопии, он же порождает исторический пессимизм, иррациональный милитаризм и темные мифы современности.
Математика - это эзотерический язык цивилизации. Неоднократно отмечалось, что математика по своему существу тавтологична; внутренний смысл любого вычисления или доказательства - сохранение истинности на всем пути от посылок до выводов: но тогда каждый шаг на этом пути - тавтология.
Цивилизация тавтологична, как математика. Ее творческий дух проявляется не столько в выборе пути по бесконечно ветвящемуся дереву тавтологий, сколько в выборе системы ценностей, которая определяет этот путь, или, скорее, отвергаемые пути.
Листы Фоменко задают эту систему ценностей серией отрицаний, что обусловлено вторым, суженным контекстом его творчества - цивилизацией двадцатого века.
Вот возможное словесное чтение этой графики; тоталитаризм есть геометрия: свобода есть свобода бегства, а не бега: уход во внутреннюю свободу есть деформация тела и души.
Христианство видится через систему призм, преломляющих изначальный образ, который уже невосстановим. Крест исполинских размеров - торжество тоталитарной геометрии, а распятая на нем душа - незначащее мгновение геометрической вечности. Рационализированный миф язычества и рационализированный миф христианства в графике и тексте Фоменко художественно равноправны: первый обладает, пожалуй, более высоким художественным потенциалом, ибо ближе к подсознанию. Распятия Фоменко проявляют изначальный парадокс христианства, давно замеченный на Востоке; ТАКОЙ КРЕСТ нельзя любить и нельзя сделать символом ничего человеческого.
Геометрия (в техническом смысле этого слова - теория измерений и твердых тел) противостоит топологии как стена или крест противостоят живому телу. Гомеоморфизм изображается скрученной в пыточной камере плотью: сама камера вырастает до вселенских размеров: она не может быть ограничена даже стенами. Стены у Фоменко ничего не ограничивают и ничего не разделяют: если приглядеться - их пытают этим существованием, так же как и людей. Реалистически изображена мука: все остальное лишь чудится измученному сознанию. Имеются многочисленные переклички между работами Фоменко с резко выявленными урбанистическими мотивами и так называемой "бумажной архитектурой": они заслуживают отдельного рассмотрения.
Дюрер изучал перспективу как дар искусству от просвещенного просветленного) разума: Фоменко возвращает этот дар с серьезностью, которая могла бы показаться пародийной, если бы не была трагической. Его вариации не темы старых мастеров (например, высоко ценимая мною "Меланхолия") - отчаянное усилие возобновить диалог с культурой, и в этом он повторяет судьбу всего искусства постиндустриальной эпохи.
Геометрия правит перспективой, топология - деформацией.
Деформация вообще есть старинный многофункциональный прием искусства. Олень в наскальной галерее великолепно деформирован бегом - разные части его тела увидены в разные моменты времени. Детский рисунок или ковчег Мемлинга деформирован прекрасным видением времени, для которого нет мгновения, а есть лишь длительность, равноправная с пространственной протяженностью. Фигуры Микельанджело деформированы напором божественной энергии, рвущейся изнутри всего сущего: фигура Босха - ухмылкой дьявола: фигуры Сальвадора Дали - тщательно спроектированным хаосом.
Фоменко предлагает читателю на выбор два способа рационализации искаженного мира; посредством математики или мифологии, то есть смыкает вершины рационального размышления с глубинами архаического и бессознательного.
В этом сопоставлении есть глубокая и поучительная ирония: невозможность выбора заставляет признать его ненужность, отождествить крайности и взглянуть со стороны на спокойное существование бытового рассудка. Если в Гамлетовском безумии есть своя система, то и во всякой системе есть свое безумие: способы, которыми Фоменко это демонстрирует, доходят до изощренности в комментарии к листу 139(каталог-243); сообщение о том, что узор игральных камней на стене изображает десятичное разложение "пи", но одна из цифр сознательно изменена. Недоступность истины, сопровождаемая сознанием искаженности ее передачи - слишком хорошо знакомое моим современникам чувство: здесь оно усугубляется внезапным пониманием, что истина и не нужна.
Со всем тем я не хочу сказать, что нам и художнику следует искать утраченный рай гармонии. Дело художника - честность и умение: тогда он становится одним голосом в большом хоре времени, музыка для которого пишется неведомо кем.

3

1. ОБРАЗЫ В ТОПОЛОГИИ

МАТЕМАТИКА:
РОГАТАЯ СФЕРА (СФЕРА АЛЕКСАНДЕ'РА)

http://s7.uploads.ru/mqfgP.jpg

Изображен объект, хорошо известный в трехмерной топологии.  Наглядно демонстриуется один из важных фактов в теории вложений двумерных поверхностей в трехмерное евклидово пространство. Хорошо известно, что если двумерная сфера гладко вложена в трехмерное евклидово пространство (т.е. вложена как гладкая несамопересекающаяся поверхность), то она разбивает пространство на две открытые области. Одна из них гомеоморфна трехмерному шару, а другая - дополнению к этому шару в пространстве. Обе эти области односвязны. Это означает, что любой непрерывный замкнутый путь (т.е. петля), лежащий в области, непрерывно стягивается по ней в точку.
Интуитивно очевидным кажется следующее предположение: односвязность этих двух областей остается справедливой и для топологических (т.е. непрерывных) вложений сферы в трехмерное евклидово пространство. Напомним, что такое вложение задается непрерывным отображением сферы в пространство, устанавливающим гомеоморфизм сферы с ее образом. (Гомеоморфизм - это взаимно-однозначное и непрерывное в обе стороны отображение).
Однако здесь интуиция нас обманывает. Оказывается, топологические вложения сферы могут быть устроены существенно сложнее, чем гладкие вложения. Одно из таких (так называемых "диких") вложений и видит читатель. Оно не является локально плоским.
Вложение строится поэтапно и является "пределом" (в некотором точном смысле) следующих гладких (а потому - локально плоских) вложений. Нужно "зацепить пальцы рук" как показано на рисунке, причем пальцы не должны касаться друг друга. После этого из "конца" каждого пальца" вырастают два новых пальца (меньшего размера), которые также зацепляются, не касаясь друг друга. И так далее. На каждом шаге число вновь вырастающих пальцев удваивается. В результате вложение усложняется.
"Переходя к пределу", мы и получаем искомое топологическое вложение сферы. Оно не локально плоское в бесконечном числе точек. Замечательно, что получившаяся "рогатая сфера" разбивает трехмерное пространство на две области, из которых одна гомеоморфна шару, а вторая - неодносвязна.
.
МИФОЛОГИЯ

Узлам в древности придавался глубокий мистический смысл (в частности, заузливанию пальцев и т.п.). С точки зрения гомеопатической магии считалось, что скрещивание нитей, затягивание узлов, скрещивание рук или ног (когда вы усаживаетесь поудобнее), - противодействует свободному протеканию событий. Узлы могут убивать или излечивать. Теория узлов и зацеплений была одним из важнейших предметов, который изучали средневековые маги и колдуны. Хорошо известное правило, предписывающее участвовать в магических и религиозных обрядах с распущенными волосами и босыми ногами, также основывалось на опасении, что наличие узла или чего-то стягивающего на голове или на ногах участников отрицательно скажется на эффективности обряда. Подобную же способность некоторые народы приписывают кольцам. Вероятно поэтому у древних греков существовало правило (приписываемое Пифагору), запрещавшее ношение колец. (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь).

4

МАТЕМАТИКА:
ДВУМЕРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

http://s6.uploads.ru/TlnQa.jpg

Справа видны сферы - простейшие 2-многообразия. Слева, как листья гигантских папоротников, вырастают проективные плоскости. Наверху - тор, "бублик". На переднем плане - лист Мебиуса, в виде "скрещенного колпака". Здесь же - двумерные поверхности большого рода, т.е.  сферы с большим числом ручек. А также - две поверхности, не являющиеся многообразиями. Это - сферы с тремя отождествленными точками. Получается нечто похожее на морское животное. Легко убедиться, что скрещенный колпак в действительности представляет собой лист Мебиуса. Он расположен в пространстве так, что его граница стала плоской окружностью.  Проективная плоскость получается склейкой диска с листом Мебиуса по их общей границе. Поэтому "папоротник" связан как с листом Мебиуса, так и с проективной плоскостью. Проективную плоскость нельзя вложить в R^3 без самопересечений. Однако самопересечения можно устранить, "выйдя" в четырехмерное пространство.
.
МИФОЛОГИЯ

Путешественник испугался, случайно оказавшегося в этом диком зоопарке. Древние считали, что все объекты окружающего нас мира имеют душу (камни, реки, растения). Однако увидеть это могут далеко не все.

5

МАТЕМАТИКА:
ЛОКАЛЬНО ГОМОЛОГИЧЕСКИ НЕТРИВИАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО

http://s7.uploads.ru/8Y2jt.jpg

Изображено двумерное топологическое пространство (бесконечный полиэдр), все группы гомологий которого тривиальны, то есть равны нулю. Это означает, что любой цикл на этой "поверхности" можно затянуть пленкой, т.е. представить в виде границы некоторой "пленки" на единицу бо'льшей размерности.  В теории гомологий цикл, являющийся границей некоторой "пленки", считается тривиальным. Группы гомологий
- важные топологические инварианты пространств, естественно появляющиеся во многих вопросах геометрии, механики, математической физики. Цикл можно наглядно представлять себе как "поверхность" без границы.
Изображенный полиэдр содержит две замечательные точки. Одна из них
- в левом нижнем углу, а другая отнесена в бесконечность. Каждая из точек замечательна тем, что любая их открытая окрестность (не совпадающая со всем полиэдром), имеет нетривиальную (т.е. отличную от нуля) группу одномерных гомологий. Полиэдр склеен из бесконечного числа "раковин", каждая из которых изображается колпаком, верхушка которого приклеена (в одной точке) к основанию колпака. Если разрезать полиэдр в любом месте, то обязательно разрежется по крайней мере одна раковина. В результате в колпаке появится дырка. Она и является нетривиальным одномерным циклом, который нельзя затянуть пленкой, целиком лежащей внутри отрезанной части полиэдра.
Полиэдр сконструирован так. Отверстие каждой раковины заклеено "завитком" следующей раковины. Именно этим объясняется описанное свойство полиэдра. При приближении к особым точкам полиэдра, раковины уменьшаются.
.
МИФОЛОГИЯ

В средние века кое-где существовал запрет на ношение колец и узлов. Некоторые народы, - например, индусы, - находили замечательный выход. На руку надевали браслеты в виде незамкнутых спиралей. И не кольцо, и не узел, и красиво.  Полинезийский жрец во время праздника иногда выходил со змеей, обвившейся вокруг руки по спирали.

6

МАТЕМАТИКА:
РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

http://s6.uploads.ru/kta6m.jpg

Расслоение - одно из важнейших понятий современной топологии. Такое пространство представляется в виде объединения слоев, т.е. таких подпространств, которые "похожи друг на друга". Например, гомеоморфны какому-то одному фиксированному пространству. Далее, они должны быть "параметризованы" точками другого пространства, называемого базой расслоения. Поэтому расслоение можно "спроектировать" на базу. На рисунке слои изображены в виде повторяющихся человеческих фигур. Слои расслоения могут быть устроены чрезвычайно сложно. Расслоение называется локально тривиальным, если прообраз любого достаточно малого "шара" базы (при проекции) является прямым произведением "шара" на слой.
МИФОЛОГИЯ
Изображена одна из йогических поз, предназначенная для уравновешивания духа.  Средневековая легенда о Го'леме - оживляемом магическими средствами глиняном великане-роботе. Считали, что можно вылепить из глины фигуру десятилетнего ребенка и оживить ее специальным заклинанием. Фигура быстро растет, достигает исполинского размера и нечеловеческой мощи. Она послушно исполняет порученную ей работу. Впрочем, если произнести неправильное заклинание, чудовище может выйти из-под контроля и уничтожить своего создателя. Легенды считают создателем Голема - раввина Ле"ва (XVI-XVII века).

7

МАТЕМАТИКА:
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ЗООПАРК

http://s7.uploads.ru/SoN7v.jpg

Изображены интересные двумерные полиэдры, возникающие в топологии, геометрии, теории минимальных поверхностей и позволяющие наглядно продемонстрировать нетривиальные математические теоремы.
Справа вверху зритель видит юмористическую сценку. "Оживший полиэдр" разваливается на свои составные части - раковины (скорпионы). Изогнутый к голове хвост "скорпиона" наглядно моделирует конструкцию полиэдра. Хорошо видно - как именно нужно склеивать "раковины", чтобы восстановить весь полиэдр.
Показано выворачивание наизнанку двумерного тора, в котором проделана дырка (т.е. вырезан маленький диск). Оказывается, если вывернуть такой продырявленный тор наизнанку (при помощи гомеоморфизма в трехмерном пространстве), то в результате снова получится тор с дыркой. Однако при этом параллель и меридиан начального тора поменяются местами. Другими словами, внутренняя поверхность тора станет внешней, а внешняя - внутренней.
Слева внизу (в тени колонны) лежит "ожерелье Антуана" - известный объект в общей топологии. Рядом (на освещенной площадке) - минимальная поверхность (мыльная пленка). Ее границей является окружность, обладающая тем замечательным свойством, что пленка может быть непрерывно отображена на свою границу, и при этом граница останется неподвижной. Этот пример Дж.Ф.Адамса удивителен тем, что двумерная поверхность моделируется устойчивой мыльной пленкой, затягивающей проволочный контур в трехмерном евклидовом пространстве. Видно, что эта минимальная поверхность получается склейкой обычного листа Мебиуса с так называемым тройным листом Мебиуса.
В центре зала показан 2-адический соленоид, - топологический объект, подробнее о котором будет рассказано далее.
.
МИФОЛОГИЯ

Любопытен медвежий праздник, устраиваемый айнами - народностью острова Йезо, а прежде - на острове Сахалин. Айны, хотя и убивали медведя при первой возможности, при разделке туши стараются умиротворить божество, представителя которого они убили, с помощью целой системы просительных обрядов. Они усаживаются вокруг зверя, кланяются ему, дарят подарки. Если медведь попал в ловушку и поранился, охотники справляют искупительный обряд. Многие айны гордятся тем, что происходят от медведя. Три жреца наблюдают за правильностью исполнения обрядов.

8

МАТЕМАТИКА:
ТЕОРЕМА О СИМПЛИЦИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

http://s6.uploads.ru/pAfQo.jpg

Она играет важную роль в топологии, поскольку позволяет путем непрерывной деформации превращать любое непрерывное (а потому, быть может, очень сложное) отображение полиэдров - в симплициальное отображение, устроенное локально довольно просто.  Изображен один из центральных моментов доказательства этой теоремы. Идея в том, что сначала достаточно малым шевелением в пространстве-образе очищается небольшая область, например, внутренность какого-то малого шара. Затем отображение деформируется так, что образы симплексов "выдавливаются" в подполиэдр, образованный симплексами такой же размерности или меньших размерностей.
.
МИФОЛОГИЯ
.

Широко распространен мотив похищения девушки драконом, которую затем освобождает неустрашимый герой, побеждающий чудовище и вознаграждаемый любовью пленницы. Миф обычно рассказывал о драконе, требовавшем девушек в качестве ежегодной дани. Мотив сражения героя-змееборца со змеем получил широкое распространение в фольклоре, средневековой литературе.  Наиболее ярко он воплотился в легендах о святом Георгии. Дракон часто представал многоголовым чудовищем, принимавшим разные образы, в которых чаще всего присутствовал мотив огня и воды.  Особую популярность миф приобретает после эпохи Крестовых Походов.

9

МАТЕМАТИКА:
ВЫВОРАЧИВАНИЕ ДВУМЕРНОЙ СФЕРЫ НАИЗНАНКУ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

http://s7.uploads.ru/WoR7k.jpg

Иллюстрируется известная теорема - выворачивание сферы наизнанку. Под выворачиванием здесь понимается гладкая деформация двумерной сферы в трехмерном евклидовом пространстве, во время которой не возникает углов, изломов (т.е. точек, где производная не определена или бесконечна). Однако, самопересечения поверхности допускаются. Оказывается, существует гладкая деформация, меняющая местами наружную и внутреннюю поверхности сферы. Эта деформация довольно сложна и нарисовать ее последовательные этапы не так то просто. Мы показали лишь один из них, отвечающий середине этого процесса.
.
МИФОЛОГИЯ

Человеческая фигура изображает здесь появление самопересечений сферы при ее деформации. Эта поза хорошо известна в системе йогических упражнений. Способствует сосредоточению духа. Черная зеркальная поверхность рисутствует в некоторых средневековых индийских мифах как средство защиты: опасный дух, увидев свое отражение, обращается в бегство. В средневековой Европе зеркала были окружены многочисленными повериями и обычаями.

10

МАТЕМАТИКА:
РАССЛОЕНИЕ ХОПФА И РАЗБИЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЫ

http://s6.uploads.ru/pbg5l.jpg

Расслоение Хопфа - это специальное отображение трехмерной сферы на двумерную. При этом прообразом любой точки 2-сферы является окружность, вложенная в 3-сферу. Расслоение Хопфа не является прямым произведением. Оно возникает во многих вопросах топологии, вариационного исчисления, в теории многообразий. Расслоение Хопфа тесно связано с разложением 3-сферы в сумму двух полноторий. Полноторие - это заполненный тор, "бублик". Возьмем два полнотория, и склеим их границы посредством диффеоморфизма, отождествляющего параллель первого тора с меридианом второго тора. И наоборот, меридиан первого тора отождествим с параллелью второго.  Оказывается, получится трехмерная сфера. Эту склейку можно изобразить в трехмерном пространстве. Сначала нужно взять стандартно вложенное полноторие. Если считать, что пространство дополнено одной бесконечно удаленной точкой, то дополнение к первому полноторию будет вторым полноторием. Оно изображено как "шея" человеческой фигуры, вокруг которой обвивается змея.  Человек-змея - одна из известных йогических поз.
.
МИФОЛОГИЯ

По космогоническим представлениям тибетцев, мир нанизан на вертикальную ось. Это - некая гора. Небо вращается вокруг оси - ледяной горы Тисэ. Ее вершина проходит через центральное отверстие шатра, или неба. Сквозь это гигантское отверстие солнце, луна и звезды получают свет. В восточном Тибете вселенную представляли в виде материка, плавающего в океане на спине черепахи или рыбы, придавленной огромной горой, осью вселенной. Иногда говорится о змее, которая обвивает ось мира и, извиваясь, вращает ее сокращениями своего тела.

11

МАТЕМАТИКА:ДЕЙСТВИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ НА ВЫСШИХ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ
http://s7.uploads.ru/N9zue.jpg

Каждое топологическое пространство обладает гомотопическими инвариантами, среди которых важное место занимают гомотопические группы. Первая из них называется фундаментальной группой. Ее элементы - это классы гомотопных путей. Пути считаются гомотопными, если их можно непрерывно продеформировать друг в друга. Элемент гомотопической группы представляется сфероидом, расположенным в пространстве. Сфероид задается непрерывным отображением сферы. Фундаментальная группа естественно действует на высших гомотопических группах. Элемент фундаментальной группы изображается некоторой петлей. Затем из сфероида вырастает тонкая трубочка, скользящая вдоль петли и заканчивающаяся в ее начальной точке. Таким образом, каждый сфероид заменяется на новый сфероид. Это задает отображение отображение элементов гомотопической группы. Разные петли определяют, вообще говоря, разные отображения.
.
МИФОЛОГИЯ

Во многих легендах, сказках, герой вынимает из своего тела душу и прячет ее в потайном месте, чтобы стать непобедимым и неуязвимым. Когда в Минагассе (остров Целебес) семья переселяется в новый дом (или когда целое племя меняет место жительства), жрецы собирают души всех членов семьи (племени) в мешки и несут их с собой. При этом считается, что с первым временем пребывания в новых домах сопряжена необычайная опасность. Переноска мешков с душами - ответственная операция, которая может быть доверена лишь людям, унаследовавшим это искусство от отцов и дедов.

12

МАТЕМАТИКА:СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ОРБИТЫ ДЕЙСТВИЯ ГРУПП
http://s6.uploads.ru/a8cGr.jpg

Во многих физических задачах большую роль играют группы симметрий. Они могут быть как дискретными, так и непрерывными. Например, на конфигурационном или фазовом пространстве может действовать группа Ли. Тогда пространство расслаивается на орбиты действия группы. Орбита - это множество точек, получающихся из одной точки при действии на нее всевозможными элементами группы преобразований. Разные орбиты могут иметь разные размерности. Если на евклидовом пространстве действует подгруппа группы ортогональных преобразований, то орбиты лежат в концентрических сферах. Если же группа содержит подгруппу трансляций, параллельных переносов, то ее орбиты могут содержать "прямолинейные образующие". Топологию расслоенного пространства часто изучают при помощи спектральных последовательностей.
.
МИФОЛОГИЯ

В индийской мифологии одна из шкал измерения "космического времени" определялась так. Где-то во мраке космоса висит гигантский куб, изготовленный из чистого алмаза. Раз в несколько тысяч лет мимо него пролетает ворон, который садится на край куба, отдыхает и чистит о него свой клюв. Затем ворон улетает. Через несколько тысяч лет он появляется вновь. Так повторяется несчетное число раз. Куб постепенно стачивается. То время, за которое ворон источит весь куб, - и есть одна секунда в исчислении времени бога Брамы. Этот чудовищный временно'й масштаб отражает общую тенденцию средневековых авторов исчислять время, в котором живут боги, совсем по-другому, чем для обычных людей.

13

МАТЕМАТИКА:СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.
http://s7.uploads.ru/UutcC.jpg

В алгебраической топологии при вычислении групп гомологий и когомологий пространств часто используется метод спектральных последовательностей. Для этого пространство стараются представить в виде расслоения, после чего алгебраическим путем вычисляется бесконечная последовательность таблиц. Каждая такая таблица называется членом спектральной последовательности. Таблицы связаны между собой дифференциальными операциями. С их помощью вычисляется некоторая "предельная таблица", которая и дает нам нужные сведения о гомологиях (когомологиях) расслоенного пространства.
На рисунке условно изображена структура таких таблиц. Они бесконечны и разбиты на ячейки (клетки), в каждой из которых помещается некоторая группа. Геометрическая информация о пространстве расслоения перерабатывается в набор алгебраических фактов, характеризующих эти таблицы. Если расслоение является прямым произведением, то достаточно вычислить лишь первую таблицу. Остальные с ней совпадают. Если же расслоение нетривиально, то последующие таблицы получаются из предыдущих более сложным образом.
.
МИФОЛОГИЯ

У многих народов птицы выступают как непременный элемент божественной сути. На мировом дереве (древе жизни) птица занимает место на вершине. Чаще всего это - орел.  Обычно птица соотносится с громовержцем: Зевсом, Юпитером, Индрой. Иногда орел или во'рон выступают как творцы вселенной.  Образ птицы породил фантастические создания в мифологии: птица Гаруда у индийцев, птица Рух у арабов, жар-птица на Руси и т.д.  На мировом древе птица противопоставляется "нижним животным". В первую очередь, - змее.

14

МАТЕМАТИКА:
ГОМЕОМОРФИЗМ, ДОСТАТОЧНО БЛИЗКИЙ К ТОЖДЕСТВЕННОМУ

http://s7.uploads.ru/S0aM6.jpg

В данном случае гомеоморфизму подвергнута голова человека.  Условно можно представлять себе гомеоморфизм как деформацию "резиновых фигур" без разрывов и склеек. Поскольку в данном случае мы все еще легко распознае'м человеческую фигуру, следовательно, примененный к ней гомеоморфизм достаточно близок к тождественному.
.
МИФОЛОГИЯ

Проклятие Альбериха. Скандинавские мифы. Гном Альберих проклинает утраченное им золотое кольцо, предрекая гибель всякому, кто завладеет им. В немецкой "Песне о Нибелунгах" Нибелунги фигурируют как первоначальные обладатели золотого клада, которым завладел Зигфрид. С этой версией связано предание о золотом кладе карлика Андвари. Клад включал золотое кольцо, обладавшее волшебным свойством умножать богатства. Но Андвари наложил на него проклятие: всякий, кто завладеет кольцом, - погибнет. Кольцо поочередно переходит к разным героям и всем им несет смерть. Широко известна тетралогия Р.Вагнера "Кольцо нибелунга", основанная на скандинавской версии мифа. Роковое кольцо, совершив круг, возвращается к Альбериху, который уже не в силах остановить действие собственного проклятия и гибнет вслед за всеми предыдущими владельцами кольца.

15

МАТЕМАТИКА:
НЕТРИВИАЛЬНЫЙ УЗЕЛ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

http://s7.uploads.ru/sAuMN.jpg

Показан узел, отличный от тривиального. Узел называется тривиальным, если его можно продеформировать при помощи изотопии (т.е. гладко и без самопересечений) в стандартную окружность, вложенную в плоскость. В противном случае узел называется нетривиальным. Теория узлов - одна из интереснейших и сложных областей топологии.  Некоторые теоремы теории узлов находят применение в химии (где узлы образованы длинными полимерными цепями), в биологии и т.п.  Как узнать: тривиален или нет какой-либо узел?  Например, изображенный автором. Ответ на вопросы такого типа - одна из центральных проблем теории узлов. Существует алгоритм (к сожалению, сложный), позволяющий в принципе выяснить тривиальность или нетривиальность любого узла. В некоторых случаях нетривиальность узла можно доказать проще. Для этой цели ищутся (и найдены) частичные инварианты узлов, вычисление которых часто позволяет установить нетривиальность узла. Читатель может попытаться доказать, что изображенный нами узел действительно нетривиален.
.
МИФОЛОГИЯ

Среди многих табу, соблюдавшихся римскими жрецами, был запрет иметь на одежде хотя бы один узел и запрет носить кольца. То же самое запрещалось мусульманским паломникам в Мекке. Многие народы питали глубокое предубеждение против завязывания узлов на своей одежде в определенные критические периоды (при родах, бракосочетании, погребении). Плиний утверждал, что сидеть со сложенными руками рядом с беременной женщиной или больным, - значит причинить им вред. Еще больший вред будет принесен, если вы обнимаете ногу сложенными руками или кладете ногу на ногу. Древние римляне считали подобные позы помехой во всякого рода делах: в военном совете, на собрании магистратов и т.п. никому не разрешалось скрещивать ноги и сплетать руки. Узлы не только убивают, но и излечивают.  Развязывание узлов приносит больному облегчение.

16

МАТЕМАТИКА:
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА "О РАСЦЕПЛЕНИИ ЗАЦЕПЛЕННЫХ ПАЛЬЦЕВ"

http://s6.uploads.ru/d2ZwC.jpg

Изображены этапы решения задачи:  как расцепить посредством гомеоморфизма человеческого тела пальцы рук, зацепленные как показано на начальном рисунке? При этом разрешаются произвольные непрерывные деформации фигуры (гомеоморфизмы). Необходимая последовательность деформаций (изотопия) показана на рисунках. Впрочем, здесь следует отметить одну тонкость. Успешное решение задачи, показанное нами, возможно лишь в том случае, когда человек "обнажен по пояс". Если, например, у него на руке надеты часы, то в конце описанной деформации пальцы рук, конечно, расцепятся, однако "завяжется" ремешок часов.

17

МАТЕМАТИКА:
"Расцепление пальцев"

http://s7.uploads.ru/OY79W.jpg

18

http://s7.uploads.ru/KtfdD.jpg

19

http://s7.uploads.ru/wJCZs.jpg

20

МАТЕМАТИКА:
"Расцепление пальцев". Завершение процесса.
http://s7.uploads.ru/tXaRw.jpg
МИФОЛОГИЯ

В арабском комментарии к словам Корана: "кто похваляется узлами" говорится, что эти слова относятся к колдунам, завязывающим узлы на веревках. Оказывается, некий злодей околдовал самого Мухаммеда, затянув на веревке девять узелков и спрятав ее в колодце. Пророк заболел и кто знает, как обернулось бы дело, если бы архангел Гавриил вовремя не сообщил пророку о местонахождении веревки. Веревку вытащили, пророк прочитал над ней заклинания, причем при прочтении каждого стиха развязывали один узел. Когда зловещая веревка распуталась, пророк почувствовал облегчение. В то же время, сеть со множеством завязанных на ней узлов считалась на Руси действенным средством против колдовства.

21

2. ОБРАЗЫ В ТЕОРИИ МНОГООБРАЗИЙ.

МАТЕМАТИКА:
РАССЛОЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО

http://s7.uploads.ru/PTSgB.jpg

Изображено касательное расслоение к окружности с одной угловой точкой. Базой расслоения является окружность, вложенная в двумерную плоскость и имеющая одну особую точку, где касательная к окружности не определена.  Слои расслоения - это касательные. Касательное расслоение к окружности гомеоморфно двумерному цилиндру.
.
МИФОЛОГИЯ.

"Древне"-греческая легенда. Завоеватели захватили храм и, набрасывая веревочные петли на расставленные вдоль стен храма огромные каменные статуи, стали сбрасывать их на землю. И вдруг одна из статуй заговорила. Перепуганные солдаты бросились врассыпную.

22

МАТЕМАТИКА:
БИЛЛИАРДЫ И ЭРГОДИЧНОСТЬ

http://s7.uploads.ru/rkjHE.jpg

Теория биллиардов изучает поведение идеального шара, движущегося внутри какой-то области и отражающегося от ее границы (т.е.  от "стенок") по правилу: "угол падения равен углу отражения".  Движение шара зависит от формы области. Особо интересна "предельная картина", когда шар движется "бесконечно долго". В этом случае траектория шара начинает "заметать" данную область, покрывая ее все более усложняющейся сеткой пересекающихся линий. Если фиксировать последовательные положения катящегося шара через равные промежутки времени (скажем, через каждые 0,01 секунды), то область начнет "заполняться шарами". Автор изобразил (в виде черных шаров, пересекающих поле слева направо) последовательные положения катящегося шара. Разные участки области заполняются шарами, вообще говоря, неравномерно. На переднем плане видно, что кое-где шары распределены плотно, а в некоторых областях их мало.
.
МИФОЛОГИЯ.

Древняя усыпальница воинов. Воина, павшего в битве, клали в полном его боевом одеянии и вооружении на огромный каменный шар (мифы Атлантики). Никто и никогда потом не прикасался к телу. В результате шары покрыли горное плато, вход на которое был потом запрещен.

23

МАТЕМАТИКА:
БИЛЛИАРД, КЛЕТОЧНЫЕ КОМПЛЕКСЫ

http://s7.uploads.ru/LRyep.jpg

Развивается тема биллиардов. Кроме того, иллюстрируется идея склеивания клеточных комплексов из шаров различных размерностей.
.
МИФОЛОГИЯ.

Однажды жрецы неправильно совершили ритуал поклонения богам, прилетевшим в образе каменных шаров к храму. Разгневанные боги навсегда покинули страну. Каменные шары рухнули с неба на землю. Некоторые из них раскололись и их обломки остались безмолвными памятниками среди пустыни, в которую превратилась некогда цветущая страна.

24

МАТЕМАТИКА:
ВНУТРЕННИЕ И ГРАНИЧНЫЕ ТОЧКИ МНОГООБРАЗИЯ. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

http://s7.uploads.ru/rCn5Z.jpg

Изображенные объекты показывают различие между внутренними и граничными точками многообразия.  Внутренние точки обладают окрестностью, гомеоморфной открытому евклидову шару, а граничные точки лежат на экваториальном сечении половинки такого шара. Объдинение всех граничных точек дает границу многообразия. Склеивая шары и половинки шаров, мы получаем многообразие с краем. Изображенные шары являются стандартными евклидовыми, т.е. допускают ортогональную группу вращений, переводящих шар в себя. В то же время многие геометрические объекты могут допускать лишь дискретную группу симметрий. Половинка шара, которая видна на горизонте, не инвариантна при вращениях вокруг оси, проходящей через центр экваториального сечения. Этому препятствует "скульптура", появившаяся на границе полушара.
.
МИФОЛОГИЯ.

Духи гор и скал. Согласно "древне"-индийской мифологии, весь мир, окружающий нас, одушевлен. Души могут переселяться в растения, животных, в камни и т.п. Но есть духи, постоянно живущие в скалах и обладающие особой мудростью (ср.  с древней скандинавской богиней земли - Эрдой). При этом время для них течет совсем по другому: одна секунда в жизни скалы - это много тысяч лет для человечества. Поэтому камни понимают нашу жизнь, но мы - не понимаем их.

25

МАТЕМАТИКА:
КОМПЛЕКСНАЯ ДИНАМИКА И МНОЖЕСТВА ЖУЛИА

http://s7.uploads.ru/Zy1r5.jpg

Фракталы - это сложные множества, хаусдорфова размерность которых не является целым числом. Они возникают, в частности, в теории итераций комплексных отображений плоскости на себя.
.
МИФОЛОГИЯ.

Битва титанов с Зевсом. Титаны - боги первого поколения, рожденные землей Геей и небом Ураном. Затем началась борьба между титанами и олимпийцами, богами с Олимпа. Битва длилась десять лет, пока на помощь олимпийцу Зевсу не пришли сторукие боги. Титаны были побеждены, низвергнуты в тартар (подземное царство), где их вечными стражами стали сторукие. Титаны считались архаическими богами, олицетворявшими грубые, катастрофические силы в природе. Рука Зевса, протянутая с неба, низвергает последнего титана.

26

МАТЕМАТИКА:
КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ

http://s6.uploads.ru/LCXTn.jpg

Бивни окаменевшего чудовища-мамонта изображают трубчатые окрестности двух кривых в трехмерном пространстве. В каждой точке кривой определены два ее инварианта - кривизна и кручение. Для изображенных кривых оба эти инварианта отличны от нуля. В каждой точке поверхности определены гауссова и средняя кривизны. Имеется простая связь между инвариантами гладкой кривой, и инвариантами двумерной границы ее трубчатой окрестности. В геометрии эта связь изучается так называемой теорией трубок.
.
МИФОЛОГИЯ.

Скальный храм в честь бога-слона. Перед охотой охотники приходят к храму, прося простить их за будущие жертвы. Кафры Амакоса, прежде чем напасть на слона, криками просят у него прощения за убийство, которое они готовятся совершить. Они уверяют слона в своем почтении к нему и объясняют, что им нужны его бивни, чтобы сделать бусы и другие украшения. Убив слона, они зарывают в землю кусок его хобота и фигурки из слоновой кости. Таким путем они рассчитывают отвратить несчастье, которое иначе неминуемо обрушилось бы на них.

27

МАТЕМАТИКА:
ПРОБЛЕМА АЛГОРИТМИЧЕСКОГО РАСПОЗНАВАНИЯ СТАНДАРТНОЙ ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЫ В КЛАССЕ ВСЕХ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

http://s6.uploads.ru/Q3CNu.jpg

Одна из интересных проблем трехмерной топологии - эффективно и алгоритмически распознать конкретное трехмерное многообразие в классе всех 3-многообразий. Например, для случая 3-сферы такая задача решена. Однако обнаруженные алгоритмы распознавания 3-сферы достаточно сложны и, пока не доведены до реализации на компьютере. Причем, сфера - это простейшее многообразие. Казалось бы, несложно ответить на вопрос: является ли какое-либо предъявленное вам 3-многообразие сферой или нет. Однако дело в том, что алгоритм может работать лишь с "кодами многообразий". Но одно и то же многообразие (в том числе и 3-сфера) представляется бесконечным числом различных кодов. То есть, один и тот же объект можно закодировать по-разному. Как распознать - задает ли предъявленный компьютеру код - стандартную сферу?  Трудность в том, что 3-сфера может "маскироваться" под разными "личинами".
В двумерном случае задача алгоритмического распознавания 2-многообразий давно решена.  На рисунке изображена сложная фигура, являющаяся в действительности 2-сферой, но подвергнутой сложному гомеоморфизму.
.
МИФОЛОГИЯ.

Согласно средневековым воззрениям, во время сна душа может покидать тело и странствовать отдельно от него. Важная часть души и силы считалась заключенной в волосах. В Европе бытовало мнение, что злые чары ведьм и колдунов заключены в волосах и, пока они не острижены, на эту нечисть нет никакой управы. Инквизитор Шпренгер (один из авторов известной средневековой книги "Молот ведьм") приказывал перед началом дознания обривать голову подозреваемого. Его более ретивый коллега Куман прежде чем послать на костер 47 женщин, сбрил все волосы на их теле. (Дж.Дж.Фрэзер. Золотая ветвь). Самый простой способ избежать опасности, связанной со стрижкой, - вообще не стричься. К этому средству прибегали в тех случаях, когда считалось, что риск необычайно велик. Франкским королям якобы вообще не разрешалось стричь волосы: они ходили нестриженными с самого детства. Состричь волосы означало отказаться от права на трон. Хлотарь и Хильдеберт, стремясь захватить трон, хитростью заманили к себе двух истинных наследников - сыновей умершего Хлодомера. Затем они послали в Париж к королеве Клотильде гонца с ножницами и мечом. Гонец поставил ее перед выбором: или постричь детей и они останутся жить, или их ждет смерть. Гордая королева выбрала второй вариант и несчастные дети погибли.
.
МАТЕМАТИКА:
ДВУМЕРНАЯ СФЕРА В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ МОЖЕТ БЫТЬ ВЫВЕРНУТА НАИЗНАНКУ

http://s7.uploads.ru/qX7U8.jpg

Интуитивно ясно, что стандартную окружность, вложенную в плоскость, нельзя "вывернуть наизнанку" посредством гладкой гомотопии в классе погружений. Можно доказать, что при любой попытке выворачивания обязательно возникнут угловые, "плохие" точки, как результат стягивания бесконечно малых петель. В то же время, двумерную сферу можно вывернуть наизнанку в трехмерном евклидовом пространстве в классе гладких погружений. То есть, самопересечения сферы допускаются, однако изломы и нарушения гладкости запрещены. Изобразить выворачивание сферы довольно сложно. Известно несколько способов таких изображений. Одно из них условно показано на рисунке.
.
МИФОЛОГИЯ.

Храм зме'я-дракона. Легендарное существо как смесь разных животных: несколько голов, туловище змеи, ящера, крокодила, крылья птицы. Иногда в состав тела входят части рыбы, пантеры, льва, козла, собаки, волка и др. Огнедышащий змей - наиболее распространенный мифологический образ европейских легенд. В греческих мифах трансформировался в образ лернейской гидры с девятью змеиными головами. Змей - священный символ египетского фараона (змея Урей). Радуга - символ зме'я. Этот символ может быть благодатным, либо гибельным. По мифологии мунда радуга - напоминание об огненном потопе (огненном дожде), который изрыгнул змей, чтобы погубить мир.

28

МАТЕМАТИКА:
ОПЕРАЦИИ СКРУЧИВАНИЯ ИЛИ ОПЕРАЦИИ ДЕНА

http://s6.uploads.ru/f2wlm.jpg

Разрежем поверхность по какой-либо замкнутой, гладкой, самонепересекающейся кривой. Затем обратно склеим два получившихся берега разреза, но применив при этом какой-либо гомеоморфизм, "подкрутку". В результате возникнет некоторый гомеоморфизм исходной поверхности. Эти операции применяются для описания групп гомеоморфизмов двумерных поверхностей.
.
МИФОЛОГИЯ.

Согласно китайским мифам, где-то в океане имеется огромная воронка (впадина или яма), куда отсасывается лишняя вода. Смерчи - это дети воронки, снующие вокруг и охраняющие ее.  Когда океан хочет послать весть небу, смерчи сливаются в ураган, который отправляется в путь. В средневековой Европе долго верили, что Гольфстрим также исчезает в какой-то гигантской воронке, засасывающей корабли. Воронка эта обожествлялась и, согласно мифам Атлантики, мощные ураганы, возникающие в океане и обрушивающиеся на побережье, это - посланцы бога, собирающие урожай душ.

29

МАТЕМАТИКА:
МЕЖДУ ДВУМЯ МАКСИМУМАМИ ВСЕГДА ЕСТЬ СЕДЛОВАЯ КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА

http://s7.uploads.ru/JjvHn.jpg

Известная теорема (т.н. принцип перевала) гласит следующее. Пусть гладкая функция Морса (т.е. с невырожденными критическими точками) определена на связном многообразии и имеет на нем по крайней мере два локальных максимума. (Вместо максимумов можно рассмотреть минимумы). Тогда "между ними" обязательно есть седловая критическая точка, т.е.  "перевал". Идея доказательства интуитивно ясна. Нужно соединить на графике функции две точки максимума резиновой нитью, целиком лежащей на графике, и отпустить ее, запрещая покидать график.  Нить начнет скользить по нему, и в конце концов где-то остановится. Ясно, что при этом она пройдет через седло. На рисунке - скалистый пейзаж, соответствующий графику функции с четырьмя максимумами. Здесь они порождают три седла.
.
МИФОЛОГИЯ.

Огромная стая птиц закрывает небо. Птицы - один из важнейших элементов многих средневековых культов.  Воро'ньи стаи становились объектом толкования и предсказания.  Жрецы гадали по форме стаи. Иногда воро'на - символ коварства, в Японии - вестник богов, в Греции - вестник плохих вестей, но символ долголетия, во Франции и Италии - птица, приносящая несчастье. Гусь иногда выступал как символ космического хаоса. В средневековой Западной Европе считали, что гуси - ездовые животные ведьм. Дятел в христианской традиции - символ ереси и дьявола (?). Во'рон - часто эквивалент орла, выступает в роли творца мира. Считался загадочной птицей, несущей угрозу. В сказках встреча воина или рыцаря в во'роном часто - дурное предзнаменование. Впрочем, иногда во'рон открывает какую-либо тайну герою.

30

3. ОБРАЗЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
.
МАТЕМАТИКА:
КРИТИЧЕСКИЕ НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ

http://s7.uploads.ru/lO7Q6.jpg

Если на трехмерном пространстве задана функция, критические точки которой заполняют окружность (критическую окружность), то может случиться, что по нормали к окружности второй дифференциал функции невырожден. Такие функции иногда называют боттовскими. Часто бывает полезно изучать так называемую сепаратрисную диаграмму, то есть множество интегральных траекторий градиентного поля функции, входящих в критическую окружность или исходящих из нее. На рисунке условно изображена одна из таких сепаратрисных диаграмм. А именно, для критической окружности индекса 1. При этом сама критическая окружность не нарисована (в действительности она зажата между двумя лентами-диаграммами). Входящая (или исходящая) диаграмма гомеоморфна либо кольцу, разрезанному вдоль его оси критической окружностью, либо листу Мебиуса (также разрезанному вдоль его оси).
.
МИФОЛОГИЯ

Скандинавские мифы. Наказание А'льбериха. Две бесконечные, сжимающиеся и наточенные как бритвы золотые ленты. Известное "проклятие Альбериха", посланное им вслед украденному у него золотому кольцу - кольцу Нибелунга. Это проклятие в конце концов возвращается к Нибелунгу как бумеранг. Происхождение имени Нибелунга неясно. Согласно одной из версий, в основе лежит nebulones = туманные (немецкое Nebel - туман). Считалось, что Нибелунги - жители гор, подземелий, мрака и туманов. Не очень ясна также принадлежность клада, охраняемого Нибелунгами. По некоторым версиям эти сокровища принадлежат светлым богам, а по другим - самим Нибелунгам.


Вы здесь » Новейшая доктрина » Новая хронология » А.Т.ФОМЕНКО МАТЕМАТИКА И МИФ СКВОЗЬ ПРИЗМУ ГЕОМЕТРИИ